Równania płaszczyzny. Kąt między dwoma płaszczyznami

Płaszczyzna, obok punktu i prostej, jest podstawowym elementem geometrycznym. Wiele kształtów w geometrii przestrzennej jest konstruowanych przy jej użyciu. W tym artykule przyjrzymy się bliżej jak znaleźć kąt pomiędzy dwoma płaszczyznami.

Koncepcja

Przed niż powiedzieć o kącie między dwiema płaszczyznami, trzeba wiedzieć, o jakim elemencie w geometrii mówimy. Zrozummy terminologię. Płaszczyzna to nieskończony zbiór punktów w przestrzeni, łącząc je ze sobą otrzymujemy wektory. Ten ostatni będzie prostopadły do jakiegoś pojedynczego wektora. Nazywa się ją normalną do płaszczyzny.

Na rysunku powyżej przedstawiono płaszczyznę i dwa wektory normalne do niej. Widać, że oba wektory leżą na tej samej prostej. Kąt między nimi wynosi 180^o.

Równania

Pomiędzy dwoma płaszczyznami można wyznaczyć kąt, jeśli znane jest równanie matematyczne danego elementu geometrycznego. Istnieje kilka rodzajów podobnych równań, których nazwy wymieniono poniżej:

• typ ogólny;
• wektor;
• w segmentach.

Te trzy typy są najwygodniejsze do rozwiązywania różnego rodzaju problemów, dlatego najczęściej stosuje się je.

Równanie typu ogólnego ma następującą postać:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Tutaj x, y, z są współrzędnymi dowolnego punktu należącego do danej płaszczyzny. Parametry A, B, C i D są liczbami. Taka forma zapisu jest wygodna, ponieważ liczby A, B, C są współrzędnymi wektora normalnego do płaszczyzny.

Wektorową postać zapisu płaszczyzny można przedstawić w następujący sposób:

x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + α*(a₁, b₁, c₁) + β*(a₂, b₂, c₂).

Tutaj (a₂, b₂, c₂) i (a₁, b₁, c₁) - parametry dwóch wektorów współrzędnych należących do rozpatrywanej płaszczyzny. Punkt (x₀, y₀, z₀) również leży w tej płaszczyźnie. Parametry α i β mogą przyjmować niezależne od siebie i dowolne wartości.

Ostatecznie równanie płaszczyzny na odcinkach przedstawia się w następującej postaci matematycznej:

x/p + y/q + z/l = 1.

Tutaj p, q, l są konkretnymi liczbami (w tym liczbami ujemnymi). Taka postać równania jest wygodna, gdy chcemy przedstawić płaszczyznę w prostokątnym układzie współrzędnych, ponieważ liczby p, q, l wskazują punkty przecięcia z osiami x, y i z płaszczyzny.

Zauważ, że każdy typ równania można przekształcić w dowolny inny typ za pomocą prostych operacji matematycznych.

Wzór na kąt między dwoma płaszczyznami to

Rozważmy teraz następujący niuans. W przestrzeni trójwymiarowej dwie płaszczyzny można ułożyć tylko na dwa sposoby. Albo się przecinają, albo są równoległe. Między dwiema płaszczyznami kąt to taki, który znajduje się między ich wektorami o kierunek (normalną). Przecinając się, 2 wektory tworzą 2 kąty (ostry i rozwarty w ogólnym przypadku). Zakłada się, że kąt między płaszczyznami jest ostry. Rozważmy równanie.

Wzór na kąt pomiędzy dwoma płaszczyznami to

θ = arccos(|(n₁¯*n₂¯)|/(|n₁¯|*|n₂¯|)).

Nietrudno się domyślić, że wyrażenie to jest bezpośrednią konsekwencją iloczynu skalarnego wektorów normalnych n₁Ż i n₂dla przedmiotowych samolotów. Modulus iloczynu skalarnego w liczniku wskazuje, że kąt θ będzie przyjmował wartości tylko z zakresu 0^o do 90^o. Iloczyn modułów wektorów normalnych w mianowniku jest iloczynem ich długości.

Zauważmy, że jeśli (n₁¯*n₂Ż) = 0, to płaszczyzny przecinają się pod kątem prostym.

Przykład problemu

Kiedy już zrozumiemy, co nazywamy kątem między dwiema płaszczyznami, rozwiążemy następujące zadanie. Na przykład. Należy więc obliczyć kąt pomiędzy tymi płaszczyznami

2*x - 3*y + 4 = 0;

(x, y, z) = (2, 0, -1) + α∗(1, 1, -1) + β∗(0, 2, 3).

Do rozwiązania problemu potrzebna jest znajomość wektorów kierunkowych płaszczyzn. Dla pierwszej płaszczyzny wektor normalny jest równy n₁¯ = (2, -3, 0). Aby znaleźć wektor normalny drugiej płaszczyzny, należy pomnożyć wektory po parametrach α i β. Wynikiem jest wektor: n₂¯ = (5, -3, 2).

Do wyznaczenia kąta θ wykorzystujemy wzór z poprzedniego punktu. Otrzymujemy:

θ = arccos (|((2, -3, 0)*(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)|*|(5, -3, 2)|)) =

= arccos (19/√(13*38)) = 0,5455 rad.

Obliczony kąt w radianach jest równy 31,26^o. Zatem płaszczyzny z warunku problemowego przecinają się pod kątem 31,26^o.