Odległość między prostymi równoległymi. Odległość między płaszczyznami równoległymi

Linia prosta i płaszczyzna to dwa najważniejsze elementy geometryczne, z których można zbudować różne kształty w przestrzeni dwu- i trójwymiarowej. Zastanówmy się, jak znaleźć odległość między prostymi równoległymi i płaszczyznami równoległymi.

Matematyczna definicja linii prostej

Ze szkolnej geometrii wiadomo, że w dwuwymiarowym układzie współrzędnych prostokątnych linia może być podana w następującej postaci:

y = k∗x + b.

Gdzie k i b są liczbami (parametrami). Pisemną formą przedstawienia prostej na płaszczyźnie jest płaszczyzna, która jest równoległa do osi z w przestrzeni trójwymiarowej. W związku z tym w tym artykule będziemy używać wygodniejszej i bardziej uniwersalnej formy dla matematycznej definicji linii prostej - formy wektorowej.

Załóżmy, że nasza prosta jest równoległa do wektora uŻ(a, b, c) i przechodzi przez punkt P(x_0, y₀, z₀). W tym przypadku, w postaci wektorowej, jego równanie będzie przedstawione jako

(x_, y, z) = (x_0, y₀, z₀) + λ*(a, b, c).

Tutaj λ jest dowolną liczbą. Jeśli jawnie przedstawimy współrzędne przez ujawnienie wyrażenia pisemnego, otrzymamy postać parametryczną dla linii.

Z równaniem wektora wygodnie jest pracować przy rozwiązywaniu różnych problemów, w których musimy wyznaczyć odległość między prostymi równoległymi.

Linie i odległość między nimi

O odległości między prostymi można mówić tylko wtedy, gdy są one równoległe (w przypadku trójwymiarowym istnieje też niezerowa odległość między prostymi, które się przecinają). Jeśli linie przecinają się, to oczywiście znajdują się w odległości zerowej od siebie.

Odległość między prostymi równoległymi jest długością łączącej je prostej prostopadłej. Aby wyznaczyć wykładnik równoległości, wystarczy wybrać dowolny punkt na jednej z prostych i z tego punktu poprowadzić prostą prostopadłą do drugiej prostej.

Opiszmy pokrótce procedurę znajdowania wymaganej odległości. Załóżmy, że, że my znamy równania wektorowe dwóch prostych, które przedstawiają się w następującej ogólnej postaci:

(x_, y, z) = P + λ∗u¯;

(x_, y, z) = Q + β*v¯.

Skonstruujmy na tych prostych równoległobok taki, że jeden bok ma długość PQ, a drugi u. Widać, że wysokość tej figury, rzutowana z punktu P, jest długością prostej prostopadłej. Aby ją znaleźć, można zastosować następujący prosty wzór

d = |[PQ¯*u¯]|/|u¯|.

Ponieważ odległość między prostymi równoległymi jest długością odcinka prostopadłego między nimi, to zgodnie z zapisanym wyrażeniem wystarczy znaleźć moduł iloczynu wektorowego PQ¯ i u¯, a wynik podzielić przez długość wektora u¯.

Przykład problemu dotyczącego wyznaczania odległości między liniami

Dwie linie są dane następującymi równaniami wektorowymi:

(x_, y, z) = (2, 3, -1) + λ∗(-2, 1, 3)

(x_, y, z) = (1, 1, 1) + β∗(2, -1, -3).

Z zapisanych wyrażeń wynika, że mamy dwie równoległe linie. Jeśli pomnożymy przez -1 współrzędne wektora pierwszego wiersza, otrzymamy współrzędne wektora pierwszego wiersza drugiego, co świadczy o ich równoległości.

Obliczmy odległość między prostymi równoległymi, korzystając ze wzoru zapisanego w poprzednim punkcie. Wówczas mamy:

P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1) => PQ¯ = (-1, -2, 2)

u¯ = (-2, 1, 3).

Otrzymujemy wówczas:

|u¯ = √14 cm;

d = |[PQ¯*u¯]|/|u¯| = √(90/14) = 2,535 cm.

Zauważmy, że zamiast punktów P i Q do rozwiązania problemu można by użyć absolutnie dowolnych punktów należących do danych linii. W tym przypadku uzyskalibyśmy tę samą odległość d.

Definicja płaszczyzny w geometrii

Powyżej szczegółowo rozpatrywaliśmy odległość między liniami. Pokażmy teraz, jak znaleźć odległość między płaszczyznami równoległymi.

Każdy ma pojęcie, czym jest samolot. Zgodnie z definicją matematyczną wskazany element geometryczny to zbiór punktów. A jeśli wymyślisz wszystkie możliwe wektory używając tych punktów, wszystkie będą prostopadłe do jednego wektora. Ta ostatnia jest powszechnie określana jako normalna do płaszczyzny.

Aby podać równanie płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej, najczęściej stosuje się postać potoczną równania. Ma on taką formę:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Gdzie duże łacińskie litery to jakieś liczby. Wygodnie jest używać tej postaci równania płaszczyzny, ponieważ jednoznacznie określa ona współrzędne wektora normalnego. Są to A, B, C.

Nietrudno zrozumieć, że dwie płaszczyzny są równoległe tylko wtedy, gdy ich normy są równoległe.

Jak znaleźć odległość między dwoma równoległymi płaszczyznami ?

Aby określić tę odległość, trzeba mieć jasne pojęcie, o czym mówimy. Odległość między płaszczyznami, które są do siebie równoległe, jest długością odcinka prostej do nich prostopadłej. Końce tego odcinka należą do płaszczyzn.

Algorytm rozwiązywania takich problemów jest prosty. Aby to zrobić, znajdź współrzędne absolutnie dowolnego punktu, który należy do jednej z dwóch płaszczyzn. Następnie należy skorzystać ze wzoru

d = |A*x₀ + B*y₀ + C*z₀ + D|/√(A² + B² + C²).

Ponieważ odległość jest wartością dodatnią, licznik jest modulo. Zapisany wzór jest uniwersalny, gdyż pozwala nam obliczyć odległość od płaszczyzny do absolutnie dowolnego elementu geometrycznego. Wystarczy znać współrzędne jednego punktu tego elementu.

Dla uzupełnienia zauważmy, że jeżeli normale dwóch płaszczyzn nie są do siebie równoległe, to płaszczyzny te będą się przecinać. Odległość między nimi wynosi wtedy zero.

Problem dotyczący wyznaczania odległości między płaszczyznami

Wiadomo, że dwie płaszczyzny są dane następującymi wyrażeniami:

y/5 + x/(-3) + z/1 = 1;

-x + 3/5*y + 3*z - 2 = 0.

Należy udowodnić, że płaszczyzny te są równoległe i wyznaczyć odległość między nimi.

Aby odpowiedzieć na pierwszą część problemu, powinniśmy sprowadzić pierwsze równanie do postaci ogólnej. Zauważmy, że w tzw. równaniu jest ona podana w postaci odcinków. Pomnożyć jego lewą i prawą część przez 15 i przenieść wszystkie składniki do jedna strona równości, otrzymujemy:

-5*x + 3*y + 15*z - 15 = 0.

Zapisz współrzędne dwóch wektorów normalnych tych płaszczyzn:

n₁¯ = (-5, 3, 15);

n₂¯ = (-1, 3/5, 3).

Można zauważyć, że jeśli n₂Po pomnożeniu przez 5 otrzymujemy dokładnie współrzędne n₁¯. Zatem płaszczyzny, o których mowa, są równoległe.

Aby obliczyć odległość między równoległymi płaszczyznami, wybieramy dowolny punkt pierwszej płaszczyzny i korzystamy z powyższego wzoru. Na przykład, weźmy punkt (0, 0, 1), który należy do pierwszej płaszczyzny. Następnie otrzymujemy:

d = |A*x₀ + B*y₀ + C*z₀ + D|/√(A² + B² + C²) =

= 1/(√(1 + 9/25 + 9 )) = 0,31 cm.

Wymagana odległość wynosi 31 mm.

Odległość między płaszczyzną a linią

Podana wiedza teoretyczna pozwala również na rozwiązanie problemu odległości między linią prostą a płaszczyzną. Wspomniano już powyżej, że wzór, obowiązujący w obliczeniach między płaszczyznami, jest uniwersalny. Można go również wykorzystać do rozwiązania danego problemu. Wystarczy wybrać dowolny punkt, który należy do danej prostej.

Głównym problemem przy wyznaczaniu odległości pomiędzy rozpatrywanymi elementami geometrycznymi jest udowodnienie, że są one równoległe (jeśli nie są, to d=0). Równoległość łatwo udowodnić obliczając iloczyn skalarny normalnej i wektora prowadzącego dla prostej. Jeśli rozpatrywane elementy są równoległe, to iloczyn ten będzie równy zero.