Obliczanie kąta między prostą a płaszczyzną. Metoda współrzędnych w rozwiązywaniu problemów

Jednym z częstych problemów w stereometrii jest przecięcie prostych i płaszczyzn oraz obliczenie kątów między nimi. W tym artykule rozważmy bardziej szczegółowo tzw. metodę współrzędnych oraz kąty między prostą a płaszczyzną.

Linia i płaszczyzna w geometrii

Zanim zaczniemy rozważać metodę współrzędnych i kąt między prostą a płaszczyzną, powinniśmy zapoznać się z nazwanymi obiektami geometrycznymi.

Prosta to zbiór punktów w przestrzeni lub na płaszczyźnie, z których każdy można otrzymać przez liniowe przeniesienie poprzedniego wektora na dany wektor. W dalszej części tekstu oznaczamy ten wektor symbolem u¯ . Jeśli pomnożymy ten wektor przez dowolną liczbę nie będącą zerem, otrzymamy równoległy wektor uŻ. Linia prosta to liniowy obiekt nieskończony.

Płaszczyzna to również zbiór punktów, które są tak ułożone, że jeśli utworzymy z nich dowolne wektory, to wszystkie będą prostopadłe do pewnego wektora n¯. Ten ostatni nazywany jest normalny lub po prostu normalny. Płaszczyzna, w przeciwieństwie do linii prostej, jest obiektem dwuwymiarowym, nieskończonym.

Metoda współrzędnych w rozwiązywaniu zadań z geometrii

Z samej nazwy metody możemy wywnioskować, że mówimy o sposób rozwiązania problemy, które opierają się na wykonywaniu analitycznych obliczeń sekwencyjnych. Innymi słowy, metoda współrzędnych pozwala nam rozwiązywać problemy geometryczne przy użyciu uniwersalnych narzędzi algebry, wśród których najważniejsze są równania.

Należy zauważyć, że metoda, o której mowa, sięga narodzin współczesnej geometrii i algebry. Wielki wkład w jej rozwój wnieśli René Descartes, Pierre Fermat, Isaac Newton i Leibniz w XVII i XVIII wieku.

Istota metody polega na przeprowadzeniu obliczeń odległości, kątów, powierzchni i objętości elementów geometrycznych na podstawie znanych współrzędnych punktów. Zauważmy, że postać otrzymanych równań zależy od układu współrzędnych. Układ kartezjański prostokątny jest najczęściej stosowany w problemach, ponieważ jest najwygodniejszy w pracy.

Równanie linii prostej

Rozważania na temat metody współrzędnych i kątów między prostą a płaszczyzną rozpocznijmy od zdefiniowania równania prostej. Jest kilka sposobów reprezentacje linii w postaci algebraicznej. Rozważmy tutaj tylko równanie wektorowe, ponieważ każda inna forma może być łatwo wyprowadzona z niego i jest łatwa do pracy.

Załóżmy, że istnieją dwa punkty, P i Q. Wiadomo, że można przez nią poprowadzić linię prostą i jest to jedyna linia. Odpowiadająca temu matematyczna reprezentacja elementu wygląda następująco

(x, y, z) = P + λ∗PQ¯.

Gdzie PQŻ jest wektorem, którego współrzędne uzyskuje się w następujący sposób

PQ¯ = Q - P.

Symbol λ oznacza parametr, który może przyjąć absolutnie dowolną liczbę.

W zapisanym wyrażeniu można zmienić kierunek wektora, a współrzędne Q. Wszystkie te przekształcenia nie zmieniają geometrycznego układu linii.

Zauważmy, że rozwiązania problemów wymagają czasem jawnej (parametrycznej) reprezentacji zapisanego równania wektorowego.

Definicja płaszczyzny w przestrzeni

Podobnie jak dla linii prostej, również dla płaszczyzny istnieje kilka postaci równań matematycznych. Wśród nich zwróćmy uwagę na równanie wektorowe, równanie na odcinkach oraz postać ogólną. W tym artykule zwrócimy szczególną uwagę na tę ostatnią formę.

Ogólne równanie dla dowolnej płaszczyzny można zapisać w ten sposób:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Wielkie litery łacińskie to liczby całkowite określające płaszczyznę.

Wygoda tej formy notacji polega na tym, że zawiera ona jawnie wektor normalny do płaszczyzny. Równa się:

n¯ = (A, B, C).

Znajomość tego wektora pozwala nam, po szybkim spojrzeniu na równanie płaszczyzny, przedstawić położenie tej ostatniej w układzie współrzędnych.

Wzajemny układ w przestrzeni linii i płaszczyzny

W kolejnym paragrafie pracy przechodzimy do rozważań nad metodą współrzędnych i kątem między prostą a płaszczyzną. Tutaj odpowiadamy na pytanie, jak w przestrzeni można zlokalizować rozważane elementy geometryczne. Istnieją trzy takie sposoby:

1. Prosta przecina płaszczyznę. Stosując metodę współrzędnych możemy obliczyć, w którym punkcie prosta i płaszczyzna przecinają się.
2. Płaszczyzna prostej jest równoległa do. W tym przypadku układ równań geometrycznych nie ma rozwiązania. Do dowodu równoległości wykorzystuje się zwykle własność iloczynu skalarnego wektora kierunkowego prostej i normalnej płaszczyzny.
3. Płaszczyzna zawiera linię. Rozwiązując układ równań w tym przypadku stwierdzamy, że dla dowolnej wartości parametru λ otrzymujemy następujące równanie.

W drugim i trzecim przypadku kąt pomiędzy wskazanymi obiektami geometrycznymi wynosi zero. W pierwszym przypadku mieści się między 0 a 90^o.

Obliczanie kątów między prostymi i płaszczyznami

Przejdźmy teraz bezpośrednio do tematu artykułu. Każde przecięcie linii i płaszczyzny następuje pod kątem. Kąt ten tworzy sama linia i jej rzut na płaszczyznę. Rzut można uzyskać spuszczając prostą prostopadłą z dowolnego punktu na płaszczyźnie, a następnie przechodząc przez powstały punkt przecięcia płaszczyzny z prostą prostopadłą oraz przez punkt przecięcia płaszczyzny z prostą pierwotną linię, która będzie rzutem.

Obliczanie kątów między prostymi i płaszczyznami nie jest trudne. Aby go rozwiązać, wystarczy znać równania odpowiednich obiektów geometrycznych. Załóżmy, że te równania są następujące:

(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + λ*(a, b, c);

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Wymagany kąt można łatwo znaleźć, korzystając z własności iloczynu wektorów skalarnych uŻ i nŻ. Ostateczna formuła wygląda tak:

θ = arcsin(|(u¯*n¯)|/(|u¯|*|n¯|)).

Wzór ten mówi, że sinus kąta między prostą a płaszczyzną jest równy stosunkowi modułu iloczynu skalarnego zaznaczonych wektorów do iloczynu ich długości. Aby zrozumieć, dlaczego zamiast cosinusa pojawia się sinus, przejdźmy do poniższego rysunku.

Widzimy, że jeśli zastosujemy funkcję cosinusową, to otrzymamy kąt między u¯ a n¯. Kąt θ (α na rysunku) otrzymujemy w następujący sposób:

θ = 90^o - β.

Sinus wynika z zastosowania wzorów predykcyjnych.

Przykład problemu

Przejdźmy do praktycznego wykorzystania uzyskanej wiedzy. Rozwiążmy typowy problem na kąt między linia i płaszczyzna. Współrzędne czterech punktów są podane w następujący sposób:

P = (1, -1, 0);

Q = (-1, 2, 2);

M = (0, 3, -1);

N = (-2, -1, 1).

Wiadomo, że przez punkt PQM przechodzi płaszczyzna, a przez MN prosta. Stosując metodę współrzędnych należy obliczyć kąt między płaszczyzną a prostą.

Napiszmy najpierw równania prostej i płaszczyzny. Dla linii prostej jest to łatwe do skonstruowania:

MNŻ = (-2, -4, 2) =>

(x, y, z) = (0, 3, -1) + λ∗(-2, -4, 2).

Aby otrzymać równanie płaszczyzny, najpierw znajdujemy normalną do niej. Jej współrzędne są równe iloczynowi wektorowemu dwóch wektorów leżących w tej płaszczyźnie. Mamy:

PQ¯ = (-2, 3, 2);

QM¯ = (1, 1, -3) =>

n¯ = [PQ¯*QM¯] = (-11, -4, -5).

Teraz podstawiamy współrzędne dowolnego punktu leżącego na płaszczyźnie do równania ogólnego płaszczyzny, aby otrzymać wartość wyrazu wolnego D:

P = (1, -1, 0);

- (A*x + B*y + C*z) = D =>

D = - (-11 + 4 + 0) = 7.

Równanie płaszczyzny to

11*x + 4*y + 5*z - 7 = 0.

Pozostaje zastosować wzór na kąt wynikający z przecięcia prostej i płaszczyzny, aby otrzymać odpowiedź na zadanie. Mamy:

(uŻ*nŻ) = (11, 4, 5)*(-2, -4, 2) = -28;

|u| = √24; |n| = √162;

θ = arcsin(28/√(162*24)) = 26,68^o.

Na przykładzie tego problemu pokazaliśmy, jak stosować metodę współrzędnych do rozwiązywania problemów geometrycznych.