Równanie gazu idealnego (równanie mendelejewa-clapeyrona). Wyprowadzenie równania gazu idealnego

Gaz jest jednym z czterech stanów skupienia otaczającej nas materii. Ten stan materii jest badany przez ludzkość przy użyciu podejścia naukowego od XVII wieku. W poniższym artykule dowiemy się, czym jest gaz idealny i jakie równanie opisuje jego zachowanie w różnych warunkach zewnętrznych.

Pojęcie gazu idealnego

Każdy wie, że powietrze, którym oddychamy, czy naturalny metan, którego używamy do ogrzewania naszych domów i gotowania potraw, to wybitni przedstawiciele gazowego stanu materii. W fizyce, w celu zbadania właściwości tego stanu, wprowadzono pojęcie gazu idealnego. Ta koncepcja zakłada stosowanie wielu założeń i uproszczeń, które nie są niezbędne przy opisie podstawowych cech fizycznych materii: temperatury, objętości i ciśnienia.

Zatem gaz idealny to substancja płynna, która spełnia następujące warunki:

1. Cząsteczki (molekuły i atomy) poruszają się chaotycznie w różnych kierunkach. Ze względu na tę właściwość, w 1648 roku Jan Baptysta van Helmont wprowadził pojęcie "gaz" ("chaos" ze starożytnej Grecji).
2. cząsteczki nie oddziałują ze sobą, tzn. można zaniedbać oddziaływania międzycząsteczkowe i międzyatomowe.
3. Zderzenia między cząsteczkami i ze ścianami naczynia są doskonale sprężyste. W wyniku takich zderzeń energia kinetyczna i wielkość ruchu (pęd) są zachowane.
4. Każda cząstka jest punktem materialnym, tzn. ma pewną skończoną masę, ale jej objętość jest zerowa.

Zbiór podanych warunków odpowiada pojęciu gazu idealnego. Wszystkie znane substancje rzeczywiste z dużą dokładnością odpowiadają wprowadzonej koncepcji w wysokich temperaturach (temperatura pokojowa i wyższe) i niskich ciśnieniach (ciśnienie atmosferyczne i niższe).

Prawo Boyle`a-Mariotte`a

Przed napisaniem równanie stanu idealnego gazu, szereg szczególnych praw i zasad, których eksperymentalne odkrycie doprowadziło do wyprowadzenia tego równania.

Zaczynamy od prawa Boyle`a-Mariotte`a. W 1662 roku brytyjski fizykochemik Robert Boyle i w 1676 roku francuski fizyko-botanik Edmund Marriott niezależnie stwierdzili następujące prawo: jeśli temperatura w układzie gazowym pozostaje stała, to ciśnienie wytwarzane przez gaz w trakcie dowolnego procesu termodynamicznego jest odwrotnie proporcjonalne do jego objętości. Matematycznie sformułowanie to można zapisać w następujący sposób:

P * V = k₁ przy T = const, gdzie

• P, V - ciśnienie i jest objętością gazu idealnego;
• k₁ - jest stałą.

Przeprowadzając eksperymenty z różnymi chemicznie gazami, naukowcy stwierdzili, że wartość k₁ jest niezależny od charakteru chemicznego, ale zależy od masy gazu.

Przejście między stanami przy zmianie ciśnienia i objętości przy zachowaniu tej samej temperatury układu nazywamy procesem izotermicznym. Tak więc izoterma gazu idealnego na wykresie przedstawia hiperbolę jako funkcję ciśnienia w stosunku do objętości.

Prawo Karola i Gay-Lussaca

W 1787 roku francuski uczony Charles, a w 1803 roku inny Francuz, Gay-Lussac, ustanowili kolejne prawo, opisujące zachowanie gazu idealnego. Można ją sformułować w następujący sposób: w układzie zamkniętym przy stałym ciśnieniu gazu wzrost temperatury prowadzi do proporcjonalnego wzrostu objętości i odwrotnie, spadek temperatury prowadzi do proporcjonalnego skurczenia się gazu. Matematyczne sformułowanie prawa Charlesa i Gay-Lussaca zapisuje się następująco:

V / T = k₂ przy P = const.

Przejście między dwoma stanami gazu przy jednoczesnej zmianie temperatury i objętości, podczas gdy ciśnienie w układzie pozostaje takie samo, nazywamy procesem izobarycznym. stały k₂ zależy od ciśnienia w układzie i masy gazu, ale nie od jego charakteru chemicznego.

graficznie, funkcja V (T) jest linią prostą o nachyleniu stycznej k₂.

Zrozumienie tego prawa jest możliwe dzięki wykorzystaniu przepisów teorii molekularno-kinetycznej (MKT). Zatem wzrost temperatury prowadzi do wzrostu energii kinetycznej cząsteczek gazu. To ostatnie zwiększa intensywność ich zderzeń ze ścianami naczynia, co powoduje wzrost ciśnienia w układzie. Aby utrzymać to ciśnienie na stałym poziomie, konieczne jest rozszerzanie objętościowe układu.

Prawo Gay-Lussaca

Wspomniany już francuski uczony na początku XIX wieku ustanowił jeszcze jedno prawo związane z procesami termodynamicznymi gazu idealnego. Prawo to mówi, że jeśli objętość w układzie gazowym jest utrzymywana na stałym poziomie, to wzrost temperatury wpływa proporcjonalnie na wzrost ciśnienia i odwrotnie. Wzór na prawo Gay-Lussaca jest następujący:

P / T = k₃ przy V = const.

Ponownie mamy stałą k₃, który zależy od masy i objętości gazu. Proces termodynamiczny przy stałej objętości nazywamy izochorycznym. Izochrony na wykresie P (T) wyglądają jak izobary, czyli są liniami prostymi.

Zasada Avogadro`a

Rozważając równanie stan gazu idealnego często dają charakterystykę tylko trzech praw przedstawionych powyżej, które są szczególnymi przypadkami tego równania. Istnieje jednak inne prawo, zwane potocznie zasadą Amedeo Avogadro. Stanowi on również szczególny przypadek równania gazu idealnego.

W 1811 roku Włoch Amedeo Avogadro, po licznych doświadczeniach z różnymi gazami, doszedł do następującego wniosku: jeśli ciśnienie i temperatura w układzie gazowym są zachowane, to jego objętość V jest wprost proporcjonalna do ilości materii n. Nie ma znaczenia, jaki charakter chemiczny ma dana substancja. Avogadro ustalił następującą zależność:

n / V = k_4,

gdzie stała k₄ zależy od ciśnienia i temperatury w układzie.

Zasada Avogadro bywa formułowana w następujący sposób: objętość, jaką zajmuje 1 mol gazu idealnego w danej temperaturze i pod danym ciśnieniem, jest zawsze taka sama, niezależnie od jego charakteru. Przypomnijmy, że 1 mol substancji to liczba N_A, odzwierciedlający liczbę jednostek elementarnych (atomów, cząsteczek) tworzących substancję (N_A = 6,02 * 10²³).

Prawo Mendelejewa-Clapeyrona

Teraz czas wrócić do głównego tematu artykułu. Każdy gaz idealny w stanie równowagi może być opisany następującym równaniem

P * V = n * R * T.

Wyrażenie to nazywane jest prawem Mendelejewa-Clapeyrona - od nazwisk naukowców, którzy przyczynili się do jego sformułowania. Prawo to mówi, że iloczyn ciśnienia przez objętość gazu jest wprost proporcjonalny do iloczynu ilości materii gazu przez jego temperaturę.

Clapeyron po raz pierwszy wyprowadził to prawo uogólniając wyniki badań Boyle`a-Mariotte`a, Charlesa, Gay-Lussaca i Avogadro. Zasługą Mendelejewa jest to, że podstawowemu równaniu gazu idealnego nadał nowoczesną postać, wprowadzając stałą R. W swoim matematycznym sformułowaniu Clapeyron użył zestawu stałych, co czyniło to prawo niewygodnym do zastosowania w praktycznych problemach.

Wprowadzona przez Mendelejewa wielkość R nazywana jest uniwersalną stałą gazową. Pokazuje, ile pracy wykonuje 1 mol gazu o dowolnym charakterze chemicznym w wyniku izobarycznego rozszerzania się, gdy temperatura wzrośnie o 1 Kelwin. Poprzez stałą Avogadro N_A i stała Boltzmanna k_B jest obliczany jako

R = N_A * k_B = 8,314 J/(mol*K).

wyprowadzenie równania

Obecny stan termodynamiki i fizyki statystycznej pozwala na uzyskanie kilku w różny sposób równanie gazu idealnego zapisane w poprzednim punkcie.

Pierwsza metoda polega na uogólnieniu z dwóch praw empirycznych: Boyle`a-Mariotte`a i Charlesa. Z tego uogólnienia wynika:

P * V / T = const.

Dokładnie to samo zrobił Clapeyron w latach 30.

Drugim sposobem jest skorzystanie z przepisów MCT. Jeżeli weźmiemy pod uwagę impuls, jaki każda cząstka przekazuje przy zderzeniu ze ścianką naczynia, uwzględnimy zależność tego impulsu od temperatury, a także uwzględnimy liczbę cząstek N w układzie, to równanie gazu idealnego z teorii kinetycznej możemy zapisać w następującej postaci

P * V = N * k_B * T.

Mnożąc i dzieląc prawą stronę równania przez liczbę N_A, otrzymujemy równanie jak napisano powyżej.

Istnieje trzeci, bardziej skomplikowany sposób uzyskania równania stanu dla gazu idealnego - z mechaniki statystycznej, wykorzystujący Helmholtzowskie pojęcie energii swobodnej.

Zapisanie równania w postaci masy i gęstości gazu

Powyżej, na rysunku, zapisujemy równanie dla gazu idealnego. Odnosi się do ilości substancji n. W praktyce jednak zmienna lub stała masa gazu idealnego m. W takim przypadku równanie zapisane byłoby w takiej postaci:

P * V = m / M * R * T.

M jest masą molową danego gazu. Na przykład dla tlenu O₂ jest równy 32 g/mol.

Wreszcie, przekształcając ostatnie wyrażenie, można je przepisać jako

P = ρ / M * R * T

Gdzie ρ jest gęstością substancji.

Mieszanka gazów

Mieszaninę gazów idealnych opisuje tzw. prawo Daltona. Prawo to wynika z równania gazu idealnego, które dotyczy każdego składnika mieszaniny. Każdy składnik zajmuje bowiem całą objętość i ma taką samą temperaturę jak pozostałe składniki mieszaniny, co pozwala napisać

P = ∑_iP_i = R * T / V * ∑_in_i.

Czyli ciśnienie całkowite w mieszaninie P jest równe sumie ciśnień cząstkowych P_i wszystkich składników.