Jak znaleźć iloczyn macierzy. Mnożenie macierzy. Iloczyn skalarny macierzy. Iloczyn trzech macierzy

Macierze (tablice z elementami liczbowymi) mogą być manipulowane na różne sposoby. Niektóre z nich to mnożenie przez liczbę, wektor, inną macierz, kilka macierzy. Zdarza się, że produkt jest nieprawidłowy. Błędny wynik jest efektem nieznajomości zasad wykonywania operacji obliczeniowych. Zobaczmy, jak wykonać mnożenie.

Matryca i liczba

Zacznijmy od najprostszego: od mnożenia tablicy liczb przez określoną wartość. Na przykład, mamy macierz A o elementach a_ij (i to numery wierszy, a j to numery kolumn) oraz liczba e. Iloczynem macierzy przez liczbę e jest macierz B o elementach b_ij, które znajdują się za pomocą wzoru:

b_ij = e × a_ij.

Т. е. Aby uzyskać element b₁₁ trzeba wziąć element a₁₁ i pomnożyć przez żądaną liczbę, aby otrzymać b₁₂ wymagane jest znalezienie iloczynu elementu a₁₂ oraz liczby e i t. д.

Rozwiążmy zadanie 1 na rysunku. Aby otrzymać macierz B, wystarczy pomnożyć elementy z A przez 3:

1. a₁₁ × 3 = 18. Wpisz tę wartość do macierzy B w miejscu przecięcia kolumny 1 i wiersza 1.
2. a₂₁ × 3 = 15. Otrzymaliśmy element b₂₁.
3. a₁₂ × 3 = -6. Otrzymaliśmy element b₁₂. Wpisz ją do macierzy B na przecięciu kolumny numer 2 i wiersza numer 1.
4. a₂₂ × 3 = 9. Wynik ten jest elementem b₂₂.
5. a₁₃ × 3 = 12. Wpisz tę liczbę w miejsce elementu b w macierzy₁₃.
6. a₂₃ × 3 = -3. Ostatnim wynikiem jest element b₂₃.

W ten sposób otrzymaliśmy prostokątną macierz o elementach numerycznych.

Wektory i warunek istnienia iloczynu macierzowego

W dyscyplinach matematycznych istnieje coś takiego jak "wektor". Termin ten odnosi się do uporządkowanego zbioru wartości z₁ do_n. Nazywamy je współrzędnymi w przestrzeni wektorowej i zapisujemy jako kolumnę. Istnieje również termin "wektor transponowany". Jego elementy są ułożone w jako rząd.

Wektory mogą być nazywane macierzami:

• vector-column jest macierzą skonstruowaną z pojedynczej kolumny;
• Wektor wierszy jest macierzą, która zawiera tylko jeden rząd.

Wykonując operacje mnożenia na macierzach należy pamiętać, że istnieje warunek istnienia iloczynu. Operacja obliczeniowa A × B może być wykonana tylko wtedy, gdy liczba kolumn w tablicy A jest równa liczbie wierszy w tablicy B. Ostateczna macierz będąca wynikiem obliczeń ma zawsze liczbę wierszy z tabeli A i liczbę kolumn z tabeli B.

Dla mnożenia nie zaleca się zamiany macierzy (mnożników). Ich iloczyn zwykle nie odpowiada komutatywnemu (permutatywnemu) prawu mnożenia, tzn. е. wynik operacji A × B nie jest równy wynikowi operacji B × A. Cecha ta nazywana jest niekomutatywnym iloczynem macierzy. W niektórych przypadkach wynik mnożenia A × B jest równy wynikowi mnożenia B × A, t. е. iloczyn jest komutatywny. Matryce, w którym spełniona jest równość A × B = B × A, nazywane są permutacyjnymi. Przykłady takich tabel można znaleźć poniżej.

Mnożenie przez kolumnę wektora

Wykonując mnożenie macierzy przez kolumnę wektorową należy pamiętać o uwzględnieniu warunku istnienia iloczynu. Liczba kolumn (n) w tabeli powinna odpowiadać liczbie współrzędnych tworzących wektor. Wynikiem obliczeń jest przekształcony wektor. Jego liczba współrzędnych jest równa liczbie wierszy (m) z tabeli.

Jak wyglądają współrzędne wektora y, jeśli jest macierz A i wektor x? Tworzone są wzory do obliczeń:

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n,

y₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n,

......................................,

y_m = a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n,

gdzie x₁, ..., x_n - współrzędne z wektora x, m - liczba wierszy w macierzy i liczba współrzędnych w nowym wektorze y, n - liczba kolumn w macierzy i liczba współrzędnych w wektorze x, a₁₁, a₁₂, ..., a_mn - elementy macierzy A.

Zatem, aby otrzymać i-tą składową nowego wektora wykonujemy iloczyn skalarny. Z macierzy A pobierany jest i-ty rząd wektora i mnożony przez dostępny wektor x.

Rozwiąż problem nr 2. Iloczyn macierzy na wektorze można znaleźć, bo A ma 3 kolumny, a x składa się z 3 współrzędnych. W wyniku powinniśmy otrzymać wektor kolumnowy o 4 współrzędnych. Wykorzystajmy powyższe wzory:

1. Obliczmy y₁. 1 × 4 + (-1) × 2 + 0 × (-4). Wartość całkowita równa się 2.
2. Obliczyć y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (-4). Podczas obliczeń otrzymujemy 0.
3. Obliczyć y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (-4). Suma iloczynów tych czynników jest równa 6.
4. Obliczyć y₄. (-1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (-4). Współrzędna to -8.

Mnożenie wiersza wektora przez macierz

Nie można mnożyć macierzy składającej się z kilku kolumn przez wektor-wiersz. W takich przypadkach warunek istnienia produktu nie jest spełniony. Ale mnożenie wiersza wektora przez macierz jest możliwe. Ta operacja obliczeniowa jest wykonywana, gdy liczba współrzędnych w wektorze i liczba wierszy w tabeli są zbieżne. Wynikiem mnożenia wektora przez macierz jest nowy wiersz wektora. Jego liczba współrzędnych powinna być równa liczbie kolumn w macierzy.

Obliczenie pierwszej współrzędnej nowego wektora polega na pomnożeniu wiersza wektora i pierwszej kolumny wektora z tablicy. Obliczanie drugiej współrzędnej odbywa się w ten sam sposób, ale zamiast pierwszej kolumny wektorowej bierzemy drugą kolumnę wektorową. Oto ogólny wzór na obliczanie współrzędnych

y_k = a_1kx₁ + a_2kx₂ + ... + a_mkx_m,

gdzie y_k - współrzędna z wektora y, (k zawiera się w przedziale od 1 do n), m jest liczbą wierszy w macierzy i liczbą współrzędnych wektora x, n jest liczbą kolumn w macierzy i liczbą współrzędnych wektora y, a o indeksach alfanumerycznych są elementami macierzy A.

Iloczyn macierzy prostokątnych

Ten etap obliczeń może wydawać się skomplikowany. Jednak mnożenie może być łatwo wykonane przez. Zacznijmy od zdefiniowania. Iloczynem macierzy A o m wierszach i n kolumnach oraz macierzy B o n wierszach i p kolumnach jest macierz C o m wierszach i p kolumnach, gdzie element c_ij jest iloczynem elementów i-tego wiersza z tabeli A i j-tej kolumny z tabeli B. Mówiąc prościej, element c_ij - jest iloczynem skalarnym i-tego wiersza wektora z tablicy A i j-tej kolumny wektora z tablicy B.

Zobaczmy teraz w praktyce, jak znaleźć iloczyn macierzy o postaci prostokątnej. W tym celu należy rozwiązać zadanie 3. Warunek istnienia produktu jest spełniony. Przystąpić do obliczenia elementów c_ij:

1. Macierz C będzie składać się z 2 wierszy i 3 kolumn.
2. Obliczyć element c₁₁. Aby to zrobić, wykonaj iloczyn skalarny wiersza 1 z macierzy A i kolumny 1 z macierzy B. c₁₁ = 0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1 = 16. Postępuj podobnie, zmieniając tylko wiersze, kolumny (w zależności od indeksu elementu).
3. c₁₂ = 12.
4. c₁₃ = 9.
5. c₂₁ = 31.
6. c₂₂ = 18.
7. c₂₃ = 36.

Elementy są obliczane. Teraz pozostaje już tylko ułożyć prostokątny blok z otrzymanych liczb.

Mnożenie trzech macierzy: część teoretyczna

Czy można znaleźć iloczyn trzech macierzy? Ta operacja obliczeniowa jest możliwa. Rezultatem może być na kilka sposobów. Na przykład mamy 3 kwadratowe stoliki (tego samego rzędu) - A, B i C. Aby obliczyć produkt można:

1. Najpierw pomnóż A i B. Następnie pomnóż wynik przez C.
2. Znajdź najpierw produkt B i C. Następnie należy pomnożyć macierz A przez otrzymany wynik.

Jeśli chcesz mnożyć macierze prostokątne, musisz najpierw upewnić się, że ta operacja obliczeniowa jest możliwa. Muszą istnieć produkty A × B i B × C.

Mnożenie w etapach nie jest błędem. Istnieje coś takiego jak "asocjatywność mnożenia macierzy". Przez to pojęcie rozumiemy równość (A × B) × C = A × (B × C).

Mnożenie trzech macierzy: ćwiczenia

Matryce kwadratowe

Zacznijmy od mnożenia małych macierzy kwadratowych. Poniższy rysunek przedstawia zadanie nr 4, które musimy rozwiązać.

Będziemy korzystać z własności asocjacji. Najpierw pomnóż A i B lub B i C. Pamiętaj o jednym: nie możesz zmieniać układu mnożników. е. nie można mnożyć przez B × A lub C × B. Przy takim mnożeniu otrzymamy błędny wynik.

Kroki rozwiązania.

Krok pierwszy. Aby znaleźć całkowity produkt, należy najpierw pomnożyć A przez B. W przypadku mnożenia dwóch macierzy będziemy postępować zgodnie z zasadami przedstawionymi powyżej. Zatem wynikiem mnożenia A i B jest macierz D o 2 wierszach i 2 kolumnach, t. е. Tablica prostokątna będzie zawierać 4 elementy. Znajdujemy je wykonując obliczenia:

• d₁₁ = 0 × 1 + 5 × 6 = 30;
• d₁₂ = 0 × 4 + 5 × 2 = 10;
• d₂₁ = 3 × 1 + 2 × 6 = 15;
• d₂₂ = 3 × 4 + 2 × 2 = 16.

Wynik pośredni jest gotowy.

Krok drugi. Teraz pomnóżcie macierz D przez macierz C. Wynikiem powinna być macierz kwadratowa G o 2 wierszach i 2 kolumnach. Obliczanie elementów:

• g₁₁ = 30 × 8 + 10 × 1 = 250;
• g₁₂ = 30 × 5 + 10 × 3 = 180;
• g₂₁ = 15 × 8 + 16 × 1 = 136;
• g₂₂ = 15 × 5 + 16 × 3 = 123.

Zatem iloczynem macierzy kwadratowych jest tablica G o obliczonych elementach.

Matryce prostokątne

Problem nr 5 podany jest na poniższym rysunku. Macierze prostokątne trzeba mnożyć i rozwiązywać.

Sprawdźmy, czy spełniony jest warunek istnienia produktów A × B i B × C. Rzędy tych macierzy pozwalają nam mnożyć. Przejdźmy do rozwiązania problemu.

Krok rozwiązania.

Krok pierwszy. Pomnóż B przez C, aby otrzymać D. Macierz B zawiera 3 wiersze i 4 kolumny, macierz C zawiera 4 wiersze i 2 kolumny. Oznacza to, że będziemy mieli macierz D o 3 wierszach i 2 kolumnach. Obliczyć pierwiastki z. Oto 2 przykładowe obliczenia:

• d₁₁ = 3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1 = 0;
• d₁₂ = 3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6 = 7.

Kontynuuj rozwiązywanie problemu. W wyniku dalszych obliczeń znajdujemy wartości d₂₁, d₂₂, d₃₁ i d₃₂. Elementy te wynoszą odpowiednio 0, 19, 1 i 11. Zapisać znalezione wartości do tablicy prostokątnej.

Krok drugi. Pomnożyć A przez D, aby otrzymać macierz wynikową F. Ma 2 wiersze i 2 kolumny. Obliczanie elementów:

• f₁₁ = 2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1 = 1;
• f₁₂ = 2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11 = 139;
• f₂₁ = 0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1 = 3;
• f₂₂ = 0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11 = 52.

Utwórzmy prostokątną macierz, która jest końcowym wynikiem mnożenia trzech macierzy.

Wprowadzenie do produktu bezpośredniego

Iloczyn Kroneckera macierzy jest dość trudny do zrozumienia. Ma on dodatkową nazwę - bezpośredni produkt. Co to znaczy? Załóżmy, że mamy tablicę A rzędu m × n oraz tablicę B rzędu p × q. Iloczyn bezpośredni macierzy A na macierzy B jest macierzą rzędu mp × nq.

Mamy dwie kwadratowe macierze A, B, które są przedstawione na rysunku. Pierwsza z nich składa się z 2 kolumn i 2 wierszy, a druga z 3 kolumn i 3 wierszy. Widzimy, że macierz będąca wynikiem iloczynu bezpośredniego ma 6 wierszy i dokładnie tyle samo kolumn.

Podobnie jak w przypadku produktu bezpośredniego, elementy nowej macierzy są obliczane? Znalezienie odpowiedzi na to pytanie jest proste, jeśli przeanalizuje się rysunek. Pierwsze wypełnienie w pierwszym rzędzie. Weź pierwszy element z górnego wiersza tabeli A i kolejno pomnóż przez elementy pierwszego wiersza tabeli B. Następnie weź drugi element pierwszego wiersza tabeli A i pomnóż go konsekwentnie przez elementy pierwszego wiersza tabeli B. Aby wypełnić drugi rząd, ponownie weź pierwszy element z pierwszego rzędu w tabeli A i pomnóż go przez elementy drugiego rzędu w tabeli B.

Macierz wynikowa, otrzymana przez bezpośredni iloczyn, nazywana jest macierzą blokową. Jeśli przeanalizujesz rysunek ponownie, zobaczysz, że nasz wynik składa się z 4 bloków. Wszystkie one zawierają elementy macierzy B. Dodatkowo element każdego bloku jest mnożony przez dany element macierzy A. W pierwszym bloku wszystkie elementy są mnożone przez₁₁, w drugiej przez₁₂, w trzeciej przez₂₁, w czwartej przez₂₂.

wyznacznik iloczynu

Rozważając temat mnożenia macierzy warto również zastanowić się nad pojęciem "wyznacznika prac macierzy". Co to jest kwalifikator? Jest to ważne cecha macierzy kwadratowej, konkretna wartość, która jest przypisana do tej macierzy. W dosłownym zapisie wyznacznikiem jest det.

Dla macierzy A, składającej się z dwóch kolumn i dwóch wierszy, wyznacznik można łatwo znaleźć. Istnieje mały wzór, który jest różnicą produktów konkretnych elementów:

det A = a₁₁ × a₂₂ - a₁₂ × a₂₁.

Rozważmy przykład obliczania wyznacznika dla tablicy drugiego rzędu. Istnieje macierz A, w której a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 5 i a₂₂ = 1. Do obliczenia wyznacznika używamy wzoru:

det A = 2 × 1 - 3 × 5 = 2 - 15 = -13.

Dla macierzy 3 × 3 wyznacznik oblicza się za pomocą bardziej złożonego wzoru. Poniżej przedstawiono ją dla macierzy A:

det A = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁a₃₃.

Aby zapamiętać wzór, wymyślono regułę trójkąta, którą ilustruje rysunek. Najpierw elementy głównej przekątnej są mnożone przez. Do otrzymanej wartości dodajemy iloczyny tych pierwiastków, na które wskazują kąty trójkątów o czerwonych bokach. Następnie odejmujemy iloczyny elementów przekątnej bocznej i odejmujemy iloczyny elementów, na które wskazują kąty trójkątów o niebieskich bokach.

Teraz porozmawiajmy o wyznaczniku iloczynu macierzy. Istnieje twierdzenie, które mówi, że wykładnik jest równy iloczynowi wyznaczników tablic wariacyjnych. Weźmy przykład, aby to pokazać. Mamy macierz A o elementach a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 i a₂₂ = 1 oraz macierz B o elementach b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 i b₂₂ = 2. Znaleźć wyznaczniki macierzy A i B, iloczyn A × B oraz wyznacznik tego iloczynu.

Krok rozwiązania.

Krok pierwszy. Obliczmy wyznacznik dla A: det A = 2 × 1 - 3 × 1 = -1. Następnie obliczamy wyznacznik dla B: det B = 4 × 2 - 5 × 1 = 3.

Krok drugi. Znajdź iloczyn A × B. Oznacz nową macierz literą C. Oblicz jego elementy:

• c₁₁ = 2 × 4 + 3 × 1 = 11;
• c₁₂ = 2 × 5 + 3 × 2 = 16;
• c₂₁ = 1 × 4 + 1 × 1 = 5;
• c₂₂ = 1 × 5 + 1 × 2 = 7.

Krok trzeci. Oblicz wyznacznik dla C: det C = 11 × 7 - 16 × 5 = -3. Porównajmy to z wartością, którą można było uzyskać poprzez mnożenie wyznaczników oryginalnych macierzy. Liczby są takie same. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe.

Ranga produktu

Ranga macierzy to cecha odzwierciedlająca maksymalną liczbę liniowo niezależnych wierszy lub kolumn. Aby obliczyć rangę, wykonaj elementarne przekształcenia macierzy:

• permutacja dwóch równolegle leżących rzędów;
• Mnożenie wszystkich elementów danego wiersza z tabeli przez liczbę nie równą zeru;
• dodanie do elementów jednego rzędu elementów drugiego rzędu pomnożonych przez określoną liczbę.

Po elementarnych przekształceniach spójrz na liczbę niezerowych wierszy. Ich liczba jest rangą macierzy. Rozważmy poprzedni przykład. Istniały 2 macierze: A o elementach a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 i a₂₂ = 1 i B z elementami b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 i b₂₂ = 2. Będziemy również korzystać z macierzy C, otrzymanej przez mnożenie. Jeśli wykonamy elementarne przekształcenia, to w uproszczonych macierzach nie będzie zerowych rzędów. Oznacza to, że zarówno ranga tabeli A, jak i ranga tabeli B oraz ranga tabeli C wynoszą 2.

Zwróćmy teraz szczególną uwagę na rangę iloczynu macierzy. Istnieje twierdzenie, które mówi, że ranga iloczynu tablic zawierających elementy liczbowe nie jest większa od rangi żadnego z czynników. Można to udowodnić za pomocą. Niech A będzie macierzą o rozmiarze k × s i niech B będzie macierzą o rozmiarze s × m. Iloczyn A i B jest równy C.

Przeanalizuj powyższy rysunek. Pokazuje pierwszą kolumnę macierzy C i jej uproszczony zapis. Ta kolumna jest kombinacją liniową kolumn zawartych w macierzy A. Podobnie, każda inna kolumna z tablicy prostokątnej C. Zatem podprzestrzeń utworzona przez wektory kolumnowe tabeli C znajduje się w podprzestrzeni utworzonej przez wektory kolumnowe tabeli A. Z tego powodu wymiarowość podprzestrzeni #1 nie przekracza wymiarowości podprzestrzeni #2. Stąd wynika, że ranga kolumn tabeli C nie przekracza rangi kolumn tabeli A, tzn. е. r(C) ≤ r(A). Jeśli będziemy rozumować w podobny sposób, to zobaczymy, że wiersze macierzy C są kombinacjami liniowymi wierszy macierzy B. Wynika z niej nierówność r(C) ≤ r(B).

Jak znaleźć iloczyn macierzy to dość skomplikowany temat. Można ją łatwo opanować, ale aby osiągnąć taki wynik trzeba będzie poświęcić wiele czasu na zapamiętanie wszystkich istniejących reguł i twierdzeń.