Prawo maxwella. Rozkład prędkości maxwella

Badanie właściwości gazowego stanu skupienia materii jest jedną z ważnych dziedzin współczesnej fizyki. Rozpatrując gazy w skali mikroskopowej, można uzyskać wszystkie makroskopowe parametry układu. W tym artykule zostanie podjęte ważne pytanie w molekularno-kinetycznej teorii gazów: Jaki jest Maxwellowski rozkład prędkości cząsteczek.

Szkic historyczny

Idea gazu jako układu złożonego z mikroskopijnych, ruchomych cząstek sięga starożytnej Grecji. Opracowanie go zajęło nauce ponad 1700 lat.

Za twórcę współczesnej teorii molekularno-kinetycznej (MKS) gazów słusznie uważa się Daniela Bernoulliego. W 1738 roku opublikował pracę zatytułowaną.. "Hydrodynamika". Bernoulli wyłożył w nim idee MCT, które są używane do dziś. Uczony uważał więc, że gazy składają się z cząstek, które poruszają się chaotycznie we wszystkich kierunkach. Liczne zderzenia cząsteczek ze ściankami naczyń są postrzegane jako obecność ciśnienia w gazach. Prędkości cząstek są ściśle związane z temperaturą układu. Społeczność naukowców nie zaakceptowała śmiałych pomysłów Bernoulliego, ponieważ prawo zachowania energii nie zostało jeszcze ustanowione.

Wielu naukowców pracowało później nad modelem kinetycznym gazów. Na uwagę zasługuje Rudolf Clausius, który w 1857 roku stworzył prosty model gazu. W tym rozkładzie uczony zwrócił szczególną uwagę na istnienie w cząsteczkach translacyjnych, rotacyjnych i wibracyjnych stopni swobody.

W 1859 roku James Maxwell, studiując prace Clausiusa, sformułował tzw. rozkład prędkości Maxwella dla cząsteczek. W istocie Maxwell potwierdził idee MCT, popierając je aparatem matematycznym. Ludwig Boltzmann (1871) uogólnił później wnioski z rozkładu Maxwella. Postulował on bardziej ogólny rozkład statystyczny prędkości i energii cząsteczek. Obecnie jest on znany jako rozkład Maxwella-Boltzmanna.

Gaz idealny. Podstawowe postulaty MCT

Aby zrozumieć, czym jest funkcja rozkładu Maxwella, należy dokładnie poznać systemy, dla których ma ona zastosowanie. Jest to gaz idealny. W fizyce pojęcie to odnosi się do płynnej substancji, która składa się z prawie bezwymiarowych cząstek bez energii potencjalnej. cząstki te poruszają się z dużymi prędkościami, więc ich zachowanie jest całkowicie regulowane przez energię kinetyczną. odległości między cząstkami są zbyt duże w porównaniu z ich rozmiarami, dlatego te ostatnie są pomijane.

Gazy idealne są opisane w ramach MKS. Jej podstawowe postulaty są następujące:

• układy gazowe składają się z dużej liczby swobodnych cząstek;
• cząstki poruszają się chaotycznie z różnymi prędkościami w różnych kierunkach po prostych trajektoriach;
• cząsteczki zderzają się elastycznie ze ściankami naczyń (prawdopodobieństwo zderzenia się cząsteczek ze sobą jest niewielkie, ze względu na ich małe rozmiary);
• temperatura układu jest jednoznacznie określona przez średnią energię kinetyczną cząstek, która jest zachowywana w czasie, jeżeli w układzie jest ustanowiona równowaga termodynamiczna.

Prawo dystrybucji Maxwella

Gdyby ktoś posiadał przyrząd, którym mógłby zmierzyć prędkość pojedynczej cząsteczki gazu, byłby zaskoczony eksperymentem. Eksperyment wykazałby, że każda cząsteczka dowolnego układu gazowego porusza się z idealnie dowolną prędkością. W tym przypadku, w ramach jednego systemu, który jest w równowadze termicznej z środowisko, znaleziono by zarówno bardzo wolne jak i bardzo szybkie molekuły.

Prawo Maxwella dotyczące rozkładu prędkości cząsteczek gazu jest narzędziem, które można wykorzystać do określenia prawdopodobieństwa znalezienia w badanym układzie cząsteczek o danej prędkości v. odpowiednia funkcja jest następująca:

f(v) = (m/(2*pi*k*T))^3/2*4*pi*v²*exp(-m*v²/(2*k*T)).

W tym wyrażeniu m jest masą cząsteczki (molekuły), k jest stałą Boltzmanna, T - temperatura bezwzględna. Jeśli więc znana jest chemiczna natura cząstek (wartość m), to funkcja f(v) jest jednoznacznie określona przez temperaturę bezwzględną. Funkcja f(v) nazywana jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa. Jeśli weźmiemy z niej całkę z pewnej granicy prędkości (v; v+dv), to otrzymamy liczbę cząstek N_i, które mają prędkości w danym przedziale. Zgodnie z tym, jeśli weźmiemy całkę z funkcji gęstości prawdopodobieństwa f(v) dla ograniczeń prędkości od 0 do ∞, otrzymamy całkowitą liczbę cząsteczek N w układzie.

Graficzna reprezentacja gęstości prawdopodobieństwa f(v)

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma nieco skomplikowaną postać matematyczną, więc nie jest łatwo przedstawić jej zachowanie w danej temperaturze. Problem można rozwiązać, jeśli naniesiemy go na dwuwymiarowy wykres. Schematyczny widok wykresu rozkładu Maxwella przedstawiono poniżej.

Widzimy, że zaczyna się ona od zera, ponieważ prędkość v cząsteczek nie może mieć wartości ujemnych. Wykres kończy się gdzieś w rejonie dużych prędkości, opadając płynnie do zera (f(∞)->0). Inną uderzającą cechą jest to, że gładka krzywa jest asymetryczna - zmniejsza się gwałtownie dla niższych prędkości.

Ważną cechą zachowania funkcji gęstości prawdopodobieństwa f(v) jest obecność na niej jednego wyraźnego maksimum. Zgodnie z fizycznym znaczeniem tej funkcji, maksimum to odpowiada najbardziej prawdopodobnej wartości prędkości cząsteczek w układzie gazowym.

Ważne gatunki prędkości dla funkcji f(v)

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa f(v) i jej graficzna reprezentacja pozwalają nam zdefiniować trzy ważne prędkości.

Pierwszy typ prędkości, który jest oczywisty i który został wspomniany powyżej, to najbardziej prawdopodobna prędkość v₁. Na wykresie jego wartość odpowiada maksimum funkcji f(v). to właśnie ta prędkość i jej bliskie wartości będą miały większość cząstek w układzie. Obliczenie tego nie stanowi większego problemu, po prostu bierzemy pierwszą pochodną prędkości f(v) i równamy ją do zera. W wyniku powyższych operacji matematycznych otrzymujemy wynik końcowy:

v₁ = √(2*R*T/M).

Tutaj R jest uniwersalną stałą gazową, M jest masą molową cząsteczek.

Drugi rodzaj prędkości to jej średnia wartość dla wszystkich N cząstek. Oznacz ją jako v₂. Można ją obliczyć, jeśli całkujemy funkcję v*f(v) na wszystkich prędkościach. Wynikiem oznaczonego całkowania jest następujący wzór:

v₂ = √(8*R*T/(pi*M)).

Ponieważ stosunek 8/pi>2 , to średnia prędkość jest zawsze nieco większa od najbardziej prawdopodobnej.

Każdy, kto choć trochę zna się na fizyce wie, że średnia prędkość v₂ cząsteczek musi mieć duże znaczenie w układzie gazowym. Niemniej jednak jest to błąd w ocenie. Znacznie ważniejsza jest średnia prędkość kwadratowa. Oznacz go jako v₃.

Z definicji, średnia prędkość kwadratowa jest sumą kwadratów poszczególnych prędkości wszystkich cząstek, podzielona przez liczbę tych cząstek i przyjęta jako pierwiastek kwadratowy. Można ją obliczyć dla rozkładu Maxwella wyznaczając całkę wszystkich prędkości z funkcji v²*f(v). Wzór na średnią prędkość kwadratową będzie miał postać

v₃ = √(3*R*T/M).

Z równości wynika, że prędkość ta jest większa od wartości v₂ i v₁ dla każdego układu gazowego.

Tak więc wszystkie rozważane typy prędkości leżą na wykresie rozkładu Maxwella albo w ekstremum, albo na prawo od niego.

Wartość v3

Wskazano powyżej, że prędkość średniokwadratowa ma większe znaczenie dla zrozumienia procesów fizycznych i właściwości układu gazowego niż prosta prędkość średnia v₂. Jest to rzeczywiście prawda, ponieważ energia kinetyczna gazu idealnego zależy dokładnie od wartości v₃, nie z v₂.

Jeśli rozważymy jednoatomowy gaz idealny, to obowiązuje dla niego następujące wyrażenie

m*v₃²= 3/2*k*T.

Tutaj każda część równania jest energią kinetyczną jednej cząstki o masie m. Dlaczego wartość v₃, zamiast średniej prędkości v₂? Bardzo prosto: przy określaniu energii kinetycznej każdej cząstki jej indywidualna prędkość v jest brana jako kwadrat, następnie wszystkie prędkości są dodawane i dzielone przez liczbę cząstek N. Czyli sama procedura wyznaczania energii kinetycznej prowadzi do uzyskania wartości prędkości średniokwadratowej.

Zależność funkcji f(v) od temperatury

Powyżej stwierdziliśmy, że gęstość prawdopodobieństwa prędkości cząsteczek jednoznacznie zależy od temperatury. Jak zmieni się funkcja, jeśli zwiększymy lub zmniejszymy wartość T? Odpowiedzi na to pytanie można znaleźć na poniższym wykresie.

Można zauważyć, że ogrzewanie układu zamkniętego prowadzi do rozmazania piku i jego przesunięcia w kierunku wyższych prędkości. Wzrost temperatury prowadzi do wzrostu wszystkich typów prędkości i spadku gęstości prawdopodobieństwa każdej z nich. Wartość szczytowa maleje z powodu zachowania liczby cząstek N w układzie zamkniętym.

Następnie rozwiążmy kilka problemów, aby utrwalić materiał teoretyczny.

Problem z cząsteczkami azotu w powietrzu

Obliczyć prędkości v₁, v₂ i v₃ dla azotu w powietrzu w temperaturze 300 K (około 27 ^oC).

masa molowa azotu N₂ jest równa 28 g/mol. Korzystając z powyższych wzorów, otrzymujemy

v₁ = √(2*R*T/M) = √(2*8,314*300/0,028) = 422 m/s;

v₂ = √(8*R*T/(pi*M)) = √(8*8,314*300/(3,14*0,028)) = 476 m/s;

v₃ = √(3*R*T/M) = √(3*8,314*300/0,028) = 517 m/s.

Problem z tlenem w butli

Tlen w butli miał pewną temperaturę T₁. Następnie cylinder umieszczono w chłodniejszym pomieszczeniu. Jak zmieni się wykres rozkładu prędkości Maxwella dla cząsteczek tlenu, gdy układ osiągnie równowagę termodynamiczną??

Przywołując teorię, możemy odpowiedzieć na postawione pytanie w następujący sposób: wartości wszystkich rodzajów prędkości cząsteczek będą maleć, szczyt funkcji f(v) przesunie się w lewo, stając się węższy i wyższy.