Co to jest graniastosłup prosty? Właściwości i wzory. Przykład problemu

Trójwymiarowe figury geometryczne bada się w dziedzinie stereometrii. Jednym ze znanych trójwymiarowych kształtów, które pojawiają się w zadaniach z geometrii jest graniastosłup prosty. Rozważmy w tym artykule, co on przedstawia, a także scharakteryzujmy szczegółowo graniastosłup o podstawie trójkątnej.

Pryzmat i jego rodzaje

Graniastosłupem nazywamy figurę, która powstaje przez równoległe przesunięcie wielokąta w przestrzeni. W wyniku tej operacji geometrycznej powstaje figura składająca się z kilku równoległoboków i dwóch identycznych wielokątów równoległych do siebie. Równoległoboki są bokami graniastosłupa, a wielokąty jego podstawami.

Każdy graniastosłup ma n+2 boki, 3*n krawędzi i 2*n wierzchołków, gdzie n jest liczbą kątów lub boków podstawy wielokąta. Przedstawiamy graniastosłup pięciokątny o 7 bokach, 10 wierzchołkach i 15 krawędziach.

Rozważana klasa figur jest reprezentowana przez pryzmaty kilku rodzajów. Wymieńmy je pokrótce:

• wklęsły i wypukły;
• kąty i linie;
• nieregularny i regularny.

Każda figura należy do jednej z tych trzech klasyfikacji. Podczas rozwiązywania problemów geometrycznych najłatwiej jest wykonać obliczenia dla graniastosłupów prawidłowych i prostych. To ostatnie zostanie omówione bardziej szczegółowo w kolejnych punktach tego artykułu.

Co to jest pryzmat prosty?

Wklęsłym lub wypukłym nazywamy linię prostą, regularny lub nieregularny graniastosłup, w którym wszystkie boki są czworokątami o kątach 90°. Jeżeli przynajmniej jeden z boków czworokąta nie jest prostokątem lub kwadratem, to graniastosłup nazywamy skośnym. Można też podać inną definicję: graniastosłup prosty to figura danej klasy, w której każda krawędź boczna jest równa wysokości. Wysokość h graniastosłupa to odległość między jego podstawami.

Obie te definicje, że jest to graniastosłup prosty, są równe i samowystarczalne. Wynika z tego, że wszystkie kąty dwuścienne między dowolną podstawą a każdym z boków bocznych wynoszą 90°.

Powiedzieliśmy już, że wygodnie jest używać linii prostych do rozwiązywania problemów. Dzieje się tak dlatego, że wysokość pokrywa się z długością żebra bocznego. Ten ostatni fakt ułatwia proces obliczania objętości i pola powierzchni bocznej.

Objętość graniastosłupa prostego

Objętość jest wielkością właściwą dla każdej figury przestrzennej, która liczbowo przedstawia proporcje przestrzeni zamkniętej między powierzchniami danego obiektu. Objętość graniastosłupa można obliczyć za pomocą następującego wzoru ogólnego:

V = S_o*h.

Oznacza to, że mnożąc wysokość przez powierzchnię podstawy otrzymujemy wymaganą wartość V. Ponieważ graniastosłup ma równe podstawy, aby wyznaczyć pole powierzchni S_o każdy z nich może być wzięty.

Zaletą zastosowania powyższego wzoru właśnie dla graniastosłupa prostego, w porównaniu z innymi typami graniastosłupów, jest to, że wysokość figury jest bardzo prosta do znalezienia, ponieważ pokrywa się z długością krawędzi bocznych.

Obszar boczny

Wygodnie jest obliczyć nie tylko objętość dla prostej figury danej klasy, ale także jej powierzchnię boczną. Każda z jego krawędzi jest albo prostokątem albo kwadratem. Każdy uczeń wie, jak obliczyć pole tych płaskich figur, mnożąc sąsiednie boki przez siebie.

Załóżmy, że u podstawy graniastosłupa leży dowolny n-graniastosłup, którego boki mają długość a_i. Indeks i zawiera się w przedziale od 1 do n. Pole pojedynczego prostokąta oblicza się w następujący sposób:

S_i = a_i*h.

Powierzchnia boczna S_b nie jest trudna do obliczenia, jeśli zsumujemy wszystkie powierzchnie S_i prostokąta. Otrzymujemy wtedy ostateczny wzór na S_b graniastosłupa prostego:

S_b = h*∑_i=1ⁿ(a_i) = h*P_o.

Zatem, aby wyznaczyć pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego, mnożymy wysokość graniastosłupa przez obwód jednej z jego podstaw.

Problem z graniastosłupem trójkątnym

Załóżmy, że graniastosłup prosty jest dany. Podstawa - trójkąt prosty. Katetusy tego trójkąta mają długości 12 cm i 8 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej danej figury, jeśli jej wysokość wynosi 15 cm.

Najpierw obliczmy objętość graniastosłupa prawidłowego. Trójkąt (prostokątny) przy podstawie ma pole:

S_o = a₁*a₂/2 = 12*8/2 = 48 cm².

Jak można się domyślić, a₁ i₂ w tej równości są katetusy z. Znając pole podstawy i wysokość (patrz Feinstein i in. (patrz warunek problemu), można skorzystać ze wzoru na V

V = S_o*h = 48*15 = 720 cm³.

Pole powierzchni całkowitej figury tworzą dwie części: pola powierzchni podstawy i powierzchni bocznej. Pola dwóch podstaw są równe:

S_2o = 2*S_o = 48*2 = 96 cm².

Aby obliczyć pole powierzchni bocznej, trzeba znać obwód trójkąta prostokątnego. Oblicz za pomocą twierdzenia Pitagorasa jego hipoteza a₃, mamy:

a₃ = √(a₁² + a₂²) = √(12² + 8²) = 14,42 cm.

Wtedy obwód podstawy trójkąta prostego graniastosłupa wynosi

P = a₁ + a₂ + a₃ = 12 + 8 + 14,42 = 34,42 cm.

Stosując wzór na S_b, który został zapisany w poprzednim paragrafie, otrzymujemy

S_b = h*P = 15*34,42 = 516,3 cm.

Dodając obszary S_2o i S_b, otrzymujemy pole powierzchni całkowitej danej figury geometrycznej:

S = S_2o + S_b = 96 + 516,3 = 612,3 cm².

Pryzmat trójkątny, wykonany ze specjalnych rodzajów szkła, stosowany jest w optyce do badania widm obiektów emitujących światło. Pryzmaty te są w stanie rozłożyć światło na jego składowe częstotliwości, dzięki zjawisku dyspersji.