Wzór na objętość graniastosłupa. Objętości czworokątów i sześciokątów foremnych

Graniastosłup to wielościan lub wielościan, który jest badany na szkolnym kursie stereometrii. Jedną z ważnych własności tego wielościanu jest jego objętość. Zastanówmy się w artykule jak można obliczyć tę wielkość, a także podamy wzory objętości graniastosłupów prawidłowych czworokątnych i sześciokątnych.

Pryzmat w stereometrii

Przez tę figurę rozumie się wielościan, który składa się z dwóch jednakowych wielokątów ułożonych w płaszczyznach równoległych i kilku równoległoboków. Dla niektórych rodzajów graniastosłupów równoległoboki mogą reprezentować czworokąty proste lub kwadraty. Poniżej przykład tzw. graniastosłupa pentagonalnego.

Aby skonstruować figurę jak na rysunku powyżej, należy wziąć pięciokąt i dokonać jego równoległego przeniesienia na pewną odległość w przestrzeni. Łącząc boki dwóch pięciokątów za pomocą równoległoboków otrzymujemy szukany graniastosłup.

Każdy graniastosłup składa się z twarzy, wierzchołków i krawędzi. Wierzchołki graniastosłupa, w przeciwieństwie do ostrosłupa, są równe, a każdy z nich należy do jednej z dwóch podstaw. Istnieją dwa rodzaje krawędzi: te, które należą do podstawy i te, które należą do boków.

Pryzmaty są kilku rodzajów (regularne, pochylone, wypukłe, proste, wklęsłe). Rozważmy w dalszej części artykułu, według jakiego wzoru oblicza się objętość graniastosłupa, biorąc pod uwagę typ figury.

Ogólne wyrażenie na objętość graniastosłupa

Nie ma znaczenia, który kształt jest badany, tzn. jest prosty czy jest pochylony, czy to proste czy nachylone Jeśli graniastosłup jest nieregularny, to istnieje uniwersalny wzór na wyznaczenie jego objętości. Objętość figury przestrzennej to obszar przestrzeni zamkniętej między jej ścianami. Ogólny wzór na objętość graniastosłupa jest następujący:

V = S_o × h.

Tutaj S_o to powierzchnia podstawy. Należy zauważyć, że odnosimy się do pojedynczej bazy, a nie dwóch baz. Wartość h jest wysokością. Wysokość badanego obiektu to odległość między jego równymi podstawami. Jeżeli ta odległość jest równa długości krawędzi bocznych to nazywamy graniastosłupem prostym. Wszystkie boki linii prostej są prostokątami.

Jeśli więc graniastosłup jest pochylony i ma w podstawie wielokąt nieregularny, to obliczenie jego objętości staje się bardziej skomplikowane. Jeśli jest prosta, to obliczenie objętości sprowadza się do pola powierzchni podstawy S_o.

Definicja objętości graniastosłupa prawidłowego

Graniastosłupem prawidłowym jest każdy graniastosłup, który jest prosty i ma podstawę wielokątną o równych bokach i kątach względem siebie. Na przykład takimi wielokątami są kwadrat i trójkąt równoboczny. Jednocześnie romb nie jest figurą regularną, bo nie wszystkie jego kąty są między sobą równe.

Wzór na objętość graniastosłupa prawidłowego wynika jednoznacznie z ogólnego wyrażenia na V, które zostało zapisane w poprzednim akapicie artykułu. Zanim przejdziemy do zapisania odpowiedniego wzoru, najpierw wyznaczymy pole podstawy regularnej. Nie wchodząc w szczegóły matematyczne, podajemy wzór na wyznaczenie danej powierzchni. Jest on uniwersalny dla dowolnego n-gonu regularnego i ma następującą postać:

S_n = n / 4 × ctg (pi / n) × a².

Jak wynika z wyrażenia, powierzchnia S_n - jest funkcją dwóch parametrów. Liczba całkowita n może przyjmować wartości od 3 do nieskończoności. Wartość a jest długością boku n-gonu.

Aby obliczyć objętość musimy pomnożyć powierzchnię S_n do wysokości h lub do długości krawędzi bocznej b (h=b). W rezultacie otrzymujemy następujący wzór:

V = n / 4 × ctg (pi / n) × a² × h.

Zauważmy, że aby wyznaczyć objętość graniastosłupa prawidłowego musimy znać kilka wielkości (długości boków podstawy, wysokość, kąty dwuścienne figury); aby obliczyć wartość V graniastosłupa prawidłowego musimy znać tylko dwa parametry liniowe, np. a i h.

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego

Graniastosłup czworokątny jest równoległobokiem. Jeśli wszystkie boki są równe i podniesione do kwadratu, to jest to sześcian. Każdy uczeń wie, że objętość równoległościanu prostokątnego lub sześcianu wyznacza się mnożąc jego trzy różne boki (długość wysokość i szerokość). Fakt ten wynika z zapisanego ogólnego wyrażenia objętościowego dla figury regularnej:

V = n/4 × ctg (pi / n) × a² × h = 4/4 × ctg ( pi / 4) × a² × h = a² × h.

Tutaj kotangensem kąta 45° jest 1. Zauważmy, że równość wysokości h i długości boku podstawy a prowadzi automatycznie do wzoru na objętość sześcianu.

Objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego

Zastosujmy teraz powyższe twierdzenie do wyznaczenia objętości podstaw sześciokątnych. Aby to zrobić, wystarczy podstawić do wzoru wartość n = 6:

V = 6/4 × ctg (pi / 6) × a² × h = 3 × √3/2 × a² × h.

Zapisane wyrażenie można uzyskać samodzielnie, bez korzystania z uniwersalnego wzoru na S_n. W tym celu należy podzielić prawy sześciokąt na sześć trójkątów równobocznych. Bok każdego z nich będzie równy a. Pole jednego trójkąta odpowiada:

S₃ = √3/4 × a².

Mnożąc tę wartość przez liczbę trójkątów (6) i przez wysokość, otrzymujemy wzór na objętość.