Jak wyznaczyć pole przekroju walca, stożka, graniastosłupa i ostrosłupa? Formuły

W praktyce często pojawiają się zadania, które wymagają umiejętności konstruowania odcinków figur geometrycznych o różnych kształtach oraz znajdowania pola powierzchni tych odcinków. W tym artykule zastanowimy się, jak zbudowane są ważne odcinki graniastosłupa, ostrosłupa, stożka i walca oraz jak obliczać ich pola powierzchni.

Kształty wolumetryczne

Ze stereometrii wiemy, że trójwymiarowa figura dowolnego typu jest ograniczona przez szereg powierzchni. Na przykład dla wielościanów takich jak graniastosłupy i ostrosłupy, powierzchnie te są wielokątami bocznymi. Dla walca i stożka mówimy już o powierzchniach obrotowych walca i stożka.

Jeśli weźmiemy płaszczyznę i dowolnie przetniemy nią powierzchnię dowolnego kształtu, to otrzymamy odcinek. Jej pole jest równe polu części płaszczyzny, która znajdzie się wewnątrz objętości figury. Minimalną wartością tego obszaru jest zero, które realizuje się, gdy płaszczyzna dotyka figury. Na przykład, odcinek utworzony przez pojedynczy punkt otrzymamy, jeśli płaszczyzna przechodzi przez wierzchołek ostrosłupa lub stożka. Maksymalna wartość pola przekroju zależy od wzajemnego położenia figury i płaszczyzny oraz od kształty i wymiary figury.

Poniżej rozważymy jak obliczyć pola powierzchni odcinków foremnych dla dwóch figur obrotowych (walca i stożka) oraz dwóch wielościanów (ostrosłupa i graniastosłupa).

Cylinder

Walec kołowy jest figurą obrotu prostokąta wokół dowolnego jego boku. Walec charakteryzuje się dwoma parametrami liniowymi: promieniem podstawy r i wysokością h. Poniżej przedstawiono schemat prostego walca kołowego.

Dla tej figury ważne są trzy rodzaje przekrojów:

• runda;
• prostokątne;
• eliptyczny.

Eliptyka jest wynikiem przecięcia płaszczyzny powierzchni bocznej figury pod pewnym kątem z jej podstawą. Okrągły jest wynikiem przecięcia płaszczyzny sekantowej powierzchni bocznej równoległej do podstawy walca. Wreszcie, prostokątny otrzymamy, jeśli płaszczyzna sekantu jest równoległa do osi walca.

Pole przekroju kołowego oblicza się ze wzoru:

S₁ = pi*r²

Pole przekroju osiowego, czyli prostokątnego odcinka przechodzącego przez oś cylindra, definiuje się następująco:

S₂ = 2*r*h

Przekroje stożka

Stożek jest figurą obrotową trójkąta prostokątnego wokół jednego z katiuszy. Stożek ma jeden wierzchołek i okrągłą podstawę. Jego parametrami są również promień r i wysokość h. Poniżej przedstawiono przykład stożka wykonanego z papieru.

Istnieje kilka rodzajów kształtowników stożkowych. Wymieńmy je:

• runda;
• eliptyczny;
• paraboliczny;
• hiperboliczny;
• trójkątny.

Występują one na przemian, jeśli zwiększymy kąt nachylenia płaszczyzny sekantowej względem podstawy okręgu. Łatwo jest zapisać wzory na pole powierzchni przekroju kołowego i trójkątnego.

Przekrój kołowy powstaje przez przecięcie powierzchni stożkowej z płaszczyzną równoległą do podstawy. Dla jego powierzchni obowiązuje następujący wzór

S₁ = pi*r²*z²/h²

Tutaj z jest odległością od wierzchołka figury do odcinka foremnego. Można zauważyć, że jeśli z = 0, to płaszczyzna przechodzi tylko przez wierzchołek, zatem pole powierzchni S₁ będzie równa zeru. Ponieważ z < h, powierzchnia badanego odcinka będzie zawsze mniejsza od jej wartości dla bazy.

Trójkątny otrzymujemy, gdy płaszczyzna przecina figurę wzdłuż jej osi obrotu. Kształtem powstałego odcinka będzie trójkąt równoramienny, którego bokami są średnica podstawy i dwie formacje stożka. Jak znaleźć pole przekroju poprzecznego trójkąta? Odpowiedzią na to pytanie jest następujący wzór:

S₂ = r*h

Równanie to otrzymujemy, stosując wzór na pole dowolnego trójkąta przez długość jego podstawy i wysokość.

Sekcje pryzmatyczne

Graniastosłup to duża klasa figur charakteryzujących się obecnością dwóch identycznych podstaw wielokątów równoległych do siebie, połączonych równoległobokami. Każdy przekrój graniastosłupa jest wielokątem. Ze względu na różnorodność rozpatrywanych kształtów (graniastosłupy pochyłe, proste, n-kątne, regularne, wklęsłe) różnorodność ich przekrojów jest również duża. Następnie rozpatrujemy tylko niektóre szczególne przypadki.

Jeżeli płaszczyzna cięcia jest równoległa do podstawy, to pole przekroju poprzecznego graniastosłupa jest równe polu podstawy.

Jeżeli płaszczyzna przechodzi przez geometryczne środki dwóch podstaw, czyli jest równoległa do bocznych krawędzi figury, to w przekroju powstaje równoległobok. W przypadku graniastosłupów prostych i regularnych rozpatrywany przekrój będzie prostokątem.

Piramida

Ostrosłup jest kolejnym wielościanem, który składa się z n kątów i n trójkątów. Przykład ostrosłupa trójkątnego pokazany jest poniżej.

Jeśli sekcja jest wykonywana równoległa do podstawy n-kątnej przez płaszczyznę, to jej kształt będzie dokładnie taki sam jak podstawy. Powierzchnię takiego odcinka oblicza się według wzoru:

S₁ = S_o*(h-z)²/h²

Gdzie z jest odległością od podstawy do płaszczyzny przekroju, S_o - to powierzchnia podstawy.

Jeżeli płaszczyzna sekantu zawiera wierzchołek ostrosłupa i przecina jego podstawę, to otrzymujemy przekrój trójkątny. Aby obliczyć jego pole, należy skorzystać z odpowiedniego wzoru na trójkąt.