Co to jest przyspieszenie styczne? Wzory, przykładowy problem

Ruch jest jedną z ważnych właściwości materii w naszym Wszechświecie. Rzeczywiście, nawet w temperaturze zera bezwzględnego ruch cząstek materii nie zatrzymuje się całkowicie. W fizyce ruch opisywany jest przez szereg parametrów, z których głównym jest przyspieszenie. W tym artykule bardziej szczegółowo zbadamy kwestię tego, czym jest przyspieszenie styczne i jak je obliczyć.

Przyspieszenie w fizyce

Przyspieszenie odnosi się do szybkości, z jaką prędkość ciała zmienia się podczas jego ruchu. Matematycznie definicję tę zapisuje się w następujący sposób:

a¯ = d v¯/ d t

Jest to kinematyczna definicja przyspieszenia. Ze wzoru widzimy, że jest on liczony w metrach na sekundę kwadratową (m/s)²). Przyspieszenie jest cechą wektorową. Jego kierunek nie ma nic wspólnego z kierunkiem prędkości. Kierunek przyspieszenia jest zgodny z kierunkiem zmiany prędkości. Oczywiście w przypadku ruchu jednostajnego po linii prostej nie ma zmiany prędkości, więc przyspieszenie wynosi zero.

Jeśli mówimy o przyspieszeniu jako o wielkości ruchu, musimy przypomnieć sobie prawo Newtona:

F¯ = m × a¯ =>

a¯ = F¯ / m

Przyczyna¯ jest siłą F działającą na ciało¯. Ponieważ masa m jest wielkością skalarną, przyspieszenie jest skierowane w kierunku działania siły.

Trajektoria ruchu i przyspieszenie całkowite

Mówiąc o przyspieszeniu, prędkości i przebytej drodze nie zapominajmy o jeszcze jednej ważnej właściwości każdego ruchu: trajektorii. Rozumiemy przez to wyimaginowaną linię, wzdłuż której porusza się dane ciało. Ogólnie rzecz biorąc, może to być krzywa lub linia prosta. Najczęściej spotykaną trajektorią łukową jest okrąg.

Załóżmy, że ciało porusza się po zakrzywionej trajektorii. Jego prędkość zmienia się zgodnie z pewnym prawem v = v (t). W każdym punkcie trajektorii prędkość jest skierowana wzdłuż stycznej do niej. Wyrażenie prędkości jako iloczynu jej modułu v przez wektor elementarny u¯. Wtedy dla przyspieszenia otrzymujemy:

v¯ = v × u¯;

a¯ = d v¯/ d t = d (v × u¯) / d t

Stosując zasadę obliczania pochodnej iloczynu funkcji, otrzymujemy:

a¯ = d (v × u¯) / d t = d v / d t × u¯ + v × d u¯ / d t

Zatem całkowite przyspieszenie a¯ Podczas poruszania się po zakrzywionej trajektorii, przyspieszenie rozkłada się na dwie składowe. W tym artykule zbadamy szczegółowo tylko pierwszy człon, który nazywany jest przyspieszeniem stycznym punktu. Jeśli chodzi o drugi człon, to powiedzmy, że jest on nazywany przyspieszeniem normalnym i jest skierowany do środka krzywizny.

Przyspieszenie styczne

Ten składnik przyspieszenia całkowitego oznaczamy symbolem a_t¯. Zapiszmy jeszcze raz wzór na przyspieszenie styczne:

a_t¯ = d v / d t × u¯

О niż mówi to równanie? Po pierwsze, składnik a_t¯ opisuje zmianę wartości bezwzględnej prędkości bez uwzględnienia jej kierunku. Tak więc podczas ruchu wektor prędkości może być stały (prostoliniowy) lub ciągle się zmieniać (krzywoliniowy), ale jeśli moduł prędkości pozostaje stały, to a_t¯ będzie równa zeru.

Po drugie, przyspieszenie styczne jest skierowane dokładnie tak, jak wektor prędkości. Fakt ten potwierdza obecność we wzorze zapisanym powyżej mnożnika w postaci wektora elementarnego u¯. Ponieważ u¯ jest skierowana stycznie do trajektorii, to składowa a_t¯ często określane jako przyspieszenie styczne.

Z definicji przyspieszenia stycznego możemy wywnioskować, że wielkości a¯ i_t¯ pokrywają się zawsze w przypadku ruchu prostoliniowego.

Przyspieszenie styczne i kątowe w ruchu po okręgu

Stwierdziliśmy powyżej, że ruch po dowolnej krzywoliniowej trajektorii wytwarza dwie składowe przyspieszenia. Jednym z rodzajów ruchu po linii krzywej jest obrót ciał i punktów materialnych na okręgu. Ten rodzaj ruchu wygodnie jest opisywać za pomocą charakterystyk kątowych, takich jak przyspieszenie kątowe, prędkość kątowa i kąt.

Przez przyspieszenie kątowe α rozumiemy wielkość zmiany prędkości kątowej ω:

α = d ω / d t

Przyspieszenie kątowe zwiększa częstotliwość obrotową. Oczywiście zwiększa to prędkość liniową każdego punktu biorącego udział w obrocie. Dlatego powinno istnieć wyrażenie łączące przyspieszenie kątowe i styczne. Nie będziemy wchodzić w szczegóły wyprowadzenia tego wyrażenia, ale podamy je od razu:

a_t = α × r

Wartości a_t i α są do siebie wprost proporcjonalne. Ponadto, a_t rośnie wraz ze wzrostem odległości r od osi obrotu do danego punktu. Dlatego wygodnie jest używać α zamiast a_t (α jest niezależne od promienia obrotu r).

Przykład zadania

Wiadomo, że punkt materialny obraca się wokół osi o promieniu 0,5 m. Jego prędkość kątowa zmienia się zgodnie z następującym prawem:

ω = 4 × t + t² + 3

Musimy określić z jakim przyspieszeniem stycznym punkt będzie się obracał w czasie 3,5 sekundy.

Aby rozwiązać ten problem, najpierw skorzystamy ze wzoru na przyspieszenie kątowe. Tutaj mamy:

α = d ω / d t = 2 × t + 4

Zastosujmy teraz równość, która łączy wielkości a_t i α, otrzymujemy:

a_t = α × r = t + 2

Pisząc ostatnie wyrażenie, podstawiliśmy wartość r = 0,5 m z warunku. W rezultacie otrzymaliśmy wzór, według którego przyspieszenie styczne zależy od czasu. Taki ruch po okręgu nie jest równomiernie przyspieszony. Aby uzyskać odpowiedź na to pytanie wystarczy podstawić znany moment czasowy. Otrzymujemy odpowiedź: a_t = 5,5 m/s².