Wzory na statyczny i dynamiczny moment obrotowy. Praca momentu siły

W ogólnym kursie fizyki dwoma najprostszymi rodzajami ruchu badanymi są ruch translacyjny i ruch obrotowy. Jeśli dynamika ruchu translacyjnego opiera się na wykorzystaniu takich wielkości jak siły i masy, to do ilościowego opisu obrotu ciał używamy pojęcia momentów. W tym artykule przyjrzymy się wzorowi na obliczanie momentu siły oraz do rozwiązywania jakich problemów używa się tej wartości.

Moment siły

Wyobraźmy sobie prosty układ składający się z punktu materialnego obracającego się wokół osi w odległości r od niej. Jeżeli do tego punktu przyłożymy siłę styczną F, która jest prostopadła do osi obrotu, to spowoduje ona przyspieszenie kątowe punktu. Zdolność siły do obracania układu nazywana jest momentem obrotowym lub. Obliczony według poniższego wzoru:

M¯ = [r¯*F¯]

W nawiasach kwadratowych znajduje się iloczyn wektorowy wektora promienia i siły. Wektor promienia r¯ jest odcinkiem kierunkowym od osi obrotu do punktu przyłożenia wektora F¯. Uwzględniając własność iloczynu wektorowego, wzór na wartość modułu momentu zapiszemy w fizyce w takiej postaci:

M = r*F*sin(φ) = F*d, gdzie d = r*sin(φ).

Tutaj kąt między wektor r¯ i F¯ oznaczane grecką literą φ. Wartość d nazywana jest dźwignią siły. Im jest ona większa, tym większy moment obrotowy może wytworzyć ta siła. Na przykład, jeśli otwieramy drzwi przez popchnięcie ich blisko zawiasów, ramię d jest małe, więc do obrócenia drzwi na zawiasach potrzebna jest duża siła.

Jak wynika ze wzoru na moment obrotowy, wielkość M¯ - jest wektorem. Jest ona prostopadła do płaszczyzny, w której znajdują się wektory r¯ i F¯. Kierunek M¯ można łatwo wyznaczyć korzystając z reguły prawej ręki. Aby go użyć, należy cztery palce prawej ręki ułożyć wzdłuż wektora r¯ w kierunku działania siły F¯. Następnie zgięty kciuk pokazuje kierunek momentu siły.

Moment siły w warunkach statycznych

Rozważana wielkość jest bardzo ważna przy obliczaniu warunków równowagi układu ciał posiadających oś obrotu. W statyce istnieją tylko dwa takie pojęcia:

• Równość do zera wszystkich sił zewnętrznych, które w jakiś sposób wpływają na układ;
• Równość do zera wszystkich momentów sił związanych z siłami zewnętrznymi.

Oba warunki równowagi można zapisać matematycznie w następujący sposób:

∑_i(F_i¯) = 0;

∑_i(M_i¯) = 0.

Jak widać, konieczne jest dokładne obliczenie wektorowej sumy. W odniesieniu do momentu pędu siły przyjmuje się, że jest on dodatni, jeśli siła obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówki zegara. W przeciwnym razie przed wzorem na określenie momentu obrotowego należy użyć znaku minus.

Zauważmy, że jeśli w układzie oś obrotu znajduje się na jakiejś podporze, to odpowiadająca jej siła reakcji nie wytwarza żadnego pędu, bo jej ramię jest równe zeru.

Moment siły w dynamice

Dynamika ruchu obrotowego wokół osi, podobnie jak dynamika ruchu translacyjnego, ma podstawowe równanie, na podstawie którego rozwiązuje się wiele problemów praktycznych. Nazywa się to równaniem momentów. Wzór zapisuje się w postaci:

M = I*α.

W rzeczywistości wyrażenie to jest drugim prawem Newtona, jeśli moment siły zastąpimy siłą, moment bezwładności I masą, a przyspieszenie kątowe α podobną charakterystyką liniową. Aby lepiej zrozumieć to równanie, zauważmy, że moment bezwładności odgrywa taką samą rolę jak masa prosta w ruchu translacyjnym. Moment bezwładności zależy od rozkładu masy w układzie względem osi obrotu. Im większa odległość ciała od osi, tym większa wartość I.

Przyspieszenie kątowe α jest obliczane w radianach na sekundę podniesionych do kwadratu. Opisuje on szybkość zmiany obrotu.

Jeśli moment siły jest zerowy, to układ nie uzyskuje żadnego przyspieszenia, co świadczy o zachowaniu jego pędu.

Praca momentu siły

Ponieważ badana wielkość jest mierzona w niutonach na metr (N*m), wielu może pomyśleć, że można ją zastąpić dżulami (J). Nie robią tego jednak, ponieważ dżule służą do mierzenia jakiejś wartości energii, natomiast moment obrotowy to cecha siły.

Podobnie jak siła, moment M może również wykonywać pracę. Oblicza się go według następującego wzoru:

A = M*θ.

Gdzie grecka litera θ oznacza kąt obrotu, w radianach, o który obrócony jest układ w wyniku działania momentu pędu M. Zauważ, że w wyniku pomnożenia momentu pędu siły przez kąt.. θ, jednostki miary są zachowane, ale używa się jednostki pracy, czyli dżuli.