Wskaźniki adiabatyczne: definicja i proces

W badaniach zachowania gazów w fizyce wiele uwagi poświęca się izoprocesom, czyli przejściom między stanami układu, podczas których jeden parametr termodynamiczny jest zachowany. Istnieje jednak przejście gazowe między stanami, które nie jest izoprocesem, ale odgrywa ważną rolę w przyrodzie i inżynierii. Jest to proces adiabatyczny. W tym artykule przyjrzymy się temu bardziej szczegółowo, skupiając się na tym, czym jest indeks adiabatyczny gazu.

Proces adiabatyczny

Zgodnie z definicją termodynamiczną przez proces adiabatyczny rozumie się przejście między stanem początkowym a końcowym układu, w wyniku którego nie następuje wymiana ciepła między środowiskiem zewnętrznym a danym układem. Taki proces jest możliwy przy spełnieniu dwóch następujących warunków:

• Wymiana ciepła pomiędzy środowiskiem zewnętrznym a systemem jest z takich czy innych powodów niska;
• Szybkość procesu jest duża, więc nie ma czasu na wymianę ciepła.

W inżynierii przemiana adiabatyczna jest wykorzystywana zarówno do ogrzewania gazu podczas szybkiego sprężania, jak i do chłodzenia go podczas szybkiego rozprężania. W przyrodzie omawiane przejście termodynamiczne występuje, gdy masa powietrza wznosi się lub opada na zboczu wzgórza. Te wzrosty i spadki prowadzą do zmiany punktu rosy powietrza i powstawania opadów atmosferycznych.

Równanie Poissona dla adiabatyków gazu idealnego

Gaz idealny to układ, w którym cząsteczki poruszają się chaotycznie z dużą prędkością, nie oddziałują na siebie i są bezwymiarowe. Model ten jest bardzo prosty pod względem opisu matematycznego.

Zgodnie z definicją procesu adiabatycznego można napisać następujące wyrażenie zgodne z pierwszym prawem termodynamiki:

dU = -P*dV.

Innymi słowy, gaz, rozprężając się lub kurcząc, wykonuje pracę P*dV dzięki odpowiedniej zmianie swojej energii wewnętrznej dU.

W przypadku gazu idealnego, jeśli skorzystamy z jego równania stanu (prawo Clapeyrona-Mendelejewa), możemy otrzymać następujące wyrażenie:

P*V^γ = const.

Równanie to nazywane jest równaniem Poissona. Osoby zaznajomione z fizyką gazów zauważą, że jeśli ilość γ równa się 1, równanie Poissona zmieni się w prawo Boyle`a-Mariotte`a (proces izotermiczny). Takie przekształcenie równań jest jednak niemożliwe, ponieważ γ dla każdego rodzaju gazu idealnego jest większa od jedności. Wartość γ (gamma) nazywany jest wykładnikiem adiabatycznym gazu idealnego. Przyjrzyjmy się bliżej jego fizycznemu znaczeniu.

Co to jest wykładnik adiabatyczny?

Indeks to γ, która pojawia się w równaniu Poissona dla gazu idealnego, jest stosunkiem pojemności cieplnej przy stałym ciśnieniu do podobnej wartości przy stałej objętości. W fizyce pojemność cieplna to ilość ciepła, która musi być przekazana do lub odebrana z danego układu, aby zmienił on swoją temperaturę o 1 Kelwin. Będziemy oznaczać symbolem C_P izobaryczną pojemność cieplną, a przez symbol C_V - izochoryczny. Następnie za γ równość jest prawdziwa:

γ = C_P/C_V.

Od γ jest zawsze większa od jedności, wskazuje ile razy izobaryczna pojemność cieplna danego układu gazowego jest większa od odpowiadającej jej izochorycznej pojemności cieplnej.

Pojemności cieplne CP i CV

Aby wyznaczyć wykładnik adiabatyczny należy dobrze zrozumieć znaczenie C_P i C_V. Przeprowadźmy następujący eksperyment myślowy: wyobraźmy sobie, że gaz znajduje się w układzie zamkniętym w naczyniu o litych ścianach. Jeśli ogrzejemy naczynie, to w idealnym przypadku całe przekazane ciepło przejdzie w energię wewnętrzną gazu. W takiej sytuacji prawdziwe będzie następujące równanie

dU = C_V*dT.

C_V określa ilość ciepła, która musi być przekazana do układu, aby ogrzać go izochorycznie o 1 K.

Załóżmy teraz, że gaz znajduje się w naczyniu z ruchomym tłokiem. W miarę nagrzewania się takiego układu tłok będzie się poruszał, aby utrzymać stałe ciśnienie. Ponieważ entalpia układu będzie wówczas równa iloczynowi izobarycznej pojemności cieplnej przez zmianę temperatury, pierwsze prawo termodynamiki przyjmie postać:

C_P*dT = C_V*dT + P*dV.

Widać z tego, że C_P>C_V, ponieważ w przypadku izobarycznej zmiany stanu skupienia konieczne jest wydatkowanie ciepła nie tylko na wzrost temperatury układu, a więc energii wewnętrznej, ale także na pracę wykonaną przez gaz podczas jego rozprężania.

Wartość ta wynosi γ dla idealnego gazu jednoatomowego

Najprostszym układem gazowym jest gaz idealny jednoatomowy. Załóżmy, że mamy 1 mol takiego gazu. Przypomnijmy, że podczas izobarycznego ogrzewania 1 mola gazu o zaledwie 1 Kelwin, wykonuje on pracę równą wartości R. Zwyczajowo używa się tego symbolu do oznaczenia uniwersalnej stałej gazowej. Jest ona równa 8,314 J/(mol * K). Stosując do tego przypadku ostatnie wyrażenie z poprzedniego akapitu, otrzymujemy następujące równanie:

C_P = C_V + R.

Skąd możemy wyznaczyć wartość izochorycznej pojemności cieplnej C_V:

γ = C_P/C_V;

C_V = R/(γ-1).

Wiadomo, że na jeden mol gazu monatomowego wartość izochorycznej pojemności cieplnej wynosi:

C_V = 3/2*R.

Z dwóch ostatnich równań wynika wartość wykładnika adiabatycznego:

3/2*R = R/(γ-1) =>

γ = 5/3 ≈ 1,67.

Należy zauważyć, że wartość γ zależy wyłącznie od wewnętrznych właściwości samego gazu (od polatomowej natury jego cząsteczek) i nie zależy od ilości materii w układzie.

Zależność γ z liczby stopni swobody

Powyżej zapisano równanie na izochoryczną pojemność cieplną gazu jednoatomowego. Pojawiający się tam współczynnik 3/2 związany jest z liczbą stopni swobody na atom. Ma możliwość poruszania się tylko w jednym z trzech kierunków przestrzeni, czyli istnieją tylko translacyjne stopnie swobody.

Jeśli układ składa się z dwóch cząsteczek atomowych, to do trzech stopni rotacyjnych dodawane są jeszcze dwa stopnie rotacyjne. Dlatego też wyrażenie dla C_V przyjmuje postać:

C_V = 5/2*R.

Wówczas wartość γ będzie równa:

γ = 7/5 = 1,4.

Zauważmy, że dwuatomowa cząsteczka ma w rzeczywistości jeszcze jeden wibracyjny stopień swobody, ale w temperaturach rzędu kilkuset Kelwinów nie jest on aktywowany i nie wnosi wkładu do pojemności cieplnej.

Jeśli cząsteczki gazu składają się z więcej niż dwóch atomów, to będą miały 6 stopni swobody. Wykładnik adiabatyczny w tym przypadku będzie równy:

γ = 4/3 ≈ 1,33.

Zatem wraz ze wzrostem liczby atomów w cząsteczce gazu, wartość γ zmniejsza. Jeśli wykreślimy krzywą adiabatyczną na osiach P-V, to zauważymy, że krzywa dla gazu jednoatomowego będzie się zachowywała ostrzej niż dla gazu wieloatomowego.

Wykładnik adiabatyczny dla mieszaniny gazów

Wykazaliśmy powyżej, że wartość γ nie zależy od składu chemicznego układu gazowego. Zależy ona jednak od liczby atomów tworzących jej cząsteczkę. Załóżmy, że system ma N elementów. Ułamek atomowy składnika i w mieszaninie wynosi a_i. Do wyznaczenia wykładnika adiabatycznego mieszaniny można wówczas wykorzystać następujące wyrażenie:

γ = ∑_i=1^N(a_i*γ_i).

Gdzie γ_i - ta wartość γ dla i-tego składnika.

Na przykład, to wyrażenie można zastosować do określenia γ powietrze. Ponieważ składa się on w 99% z dychatomowych cząsteczek tlenu i azotu, jego wykładnik adiabatyczny musi być bardzo bliski wartości 1,4, co potwierdza eksperymentalne wyznaczenie tej wartości.