Idealny gaz jednoatomowy. Wzór na energię wewnętrzną. Rozwiązywanie problemów

Badanie właściwości i zachowania gazu idealnego jest kluczem do zrozumienia jego fizyki. Rozważmy w tym artykule, co zawiera pojęcie idealnego gazu jednoatomowego, jakie równania opisują jego stan i energię wewnętrzną. Rozwiążemy też kilka problemów dotyczących tego tematu.

Koncepcja ogólna

Każdy uczeń wie, że gaz to jeden z trzech stanów skupienia materii, który w przeciwieństwie do ciał stałych i cieczy nie zachowuje objętości. Dodatkowo nie zachowuje też swojego kształtu i zawsze wypełnia całą nadaną mu objętość. W rzeczywistości ta ostatnia właściwość dotyczy tzw. gazów idealnych.

Pojęcie gazu idealnego jest ściśle związane z teorią kinetyki molekularnej (MKS). Zgodnie z tym rozkładem cząsteczki w układzie gazowym poruszają się chaotycznie we wszystkich kierunkach. Ich prędkości są zgodne z rozkładem Maxwella. Cząstki nie oddziałują ze sobą, a odległość między nimi jest znacznie większa niż ich rozmiar. Jeśli wszystkie te warunki są spełnione z pewną dokładnością, gaz można uznać za idealny.

Media rzeczywiste, o ile mają małe gęstości i wysokie temperatury bezwzględne, zachowują się jak media idealne. cząsteczki, powinny również składać się z nieaktywnych chemicznie cząsteczek lub atomów. W ten sposób para wodna, ze względu na obecność H₂O silnych oddziaływaniach wodoru nie jest uważany za gaz idealny, ale powietrze, które składa się z niepolarnych cząsteczek, jest.

Prawo Clapeyrona-Mendelejewa

Podczas analizy, z punktu widzenia MKS, zachowania się gazu w stanie równowagi, można wyprowadzić następujące równanie, które wiąże podstawowe parametry termodynamiczne układu:

P * V = n * R * T.

Tutaj ciśnienie, objętość i temperatura oznaczane są odpowiednio łacińskimi literami P, V i T. Wielkość n to ilość materii, która pozwala nam określić liczbę cząstek w układzie, R to stała gazowa, która nie zależy od chemicznej natury gazu. Jest on równy 8,314 J/(K*mol), czyli każdy gaz idealny w ilości 1 mola, po ogrzaniu o 1 K, rozpręża się, wykonuje pracę 8,314 J.

Zapisane równanie nazywamy uniwersalnym równaniem stanu Clapeyrona-Mendeleeva. Dlaczego? Nazwano go tak na cześć francuskiego fizyka Emile`a Clapeyrona, który w latach 30-tych XX wieku, studiując wcześniej ustalone doświadczalnie prawa gazowe, zapisał je w ogólnej formie. Następnie Dymitr Mendelejew zredukował ją do współczesnej postaci, wprowadzając stałą R.

Energia wewnętrzna ośrodka jednoatomowego

Jednoatomowy gaz idealny różni się od wieloatomowego tym, że jego cząsteczki mają tylko trzy stopnie swobody (ruch translacyjny wzdłuż trzech osi przestrzennych). Fakt ten prowadzi do następuj±cego wzoru na ¶redni± energię kinetyczn± jednego atomu

m * v² / 2 = 3 / 2 * k_B * T.

Prędkość v nazywana jest prędkością średniokwadratową. Masa atomu i stała Boltzmanna oznaczane są jako m i k_B odpowiednio.

Zgodnie z definicją energii wewnętrznej jest ona sumą składowej kinetycznej i potencjalnej. Przyjrzyjmy się bliżej. Ponieważ gaz idealny nie ma energii potencjalnej, jego energia wewnętrzna jest energią kinetyczną. Jaka jest jego formuła? Obliczanie energii wszystkich cząstek N w układzie, otrzymujemy następujące wyrażenie na energię wewnętrzną U gazu monatomowego:

U = 3 / 2 * n * R * T.

Przykłady na temat

Zadanie 1. Idealny gaz monatomowy przechodzi ze stanu 1 do stanu 2. Masa gazu pozostaje stała (układ zamknięty). Należy wyznaczyć zmianę energii wewnętrznej ośrodka, jeśli przejście jest izobaryczne przy ciśnieniu równym jednej atmosferze. Objętość delta zbiornika z gazem wynosi trzy litry.

Zapiszmy wzór na zmianę energii wewnętrznej U:

ΔU = 3 / 2 * n * R ΔT.

Korzystanie z wykorzystując równanie Clapeyrona-Mendeleeva, wyrażenie to można przepisać jako:

ΔU = 3 / 2 * P * ΔV.

Znamy zmianę ciśnienia i objętości z treści zadania, więc wystarczy je przeliczyć na układ SI i podstawić do wzoru:

ΔU = 3 / 2 * 101325 * 0,003 ≈ 456 J.

Zatem, gdy idealny gaz jednoatomowy przechodzi ze stanu 1 do stanu 2 jego energia wewnętrzna wzrasta o 456 J.

Problem 2. Idealny gaz jednoatomowy w ilości 2 moli znajdował się w naczyniu. Po podgrzaniu izochorycznym jego energia wzrosła o 500 J. Jak zmieniła się temperatura układu?

Ponownie zapisz wzór na zmianę wielkości U:

ΔU = 3 / 2 * n * R ΔT.

Z tego wzoru nietrudno wyrazić wielkość zmiany temperatura bezwzględna ΔT, mamy:

ΔT = 2 * ΔU / ( 3 * n * R ).

Dane przybliżone dla ΔU i n z warunku, otrzymujemy odpowiedź: ΔT = +20 K.

Ważne jest, aby zrozumieć, że powyższe obliczenia są ważne tylko dla jednoatomowego gazu idealnego. Jeśli układ składa się z cząsteczek polatomowych, to wzór na U przestaje obowiązywać. Prawo Clapeyrona-Mendelejewa obowiązuje dla każdego gazu idealnego.