Różnicowanie i integracja: definicja, pojęcie, formy

Różnicowanie i całkowanie to równanie zawierające pochodne. Te ostatnie, jeśli trzymać się własności matematycznych, dzielą się na zwykłe i częściowe. Pochodne przedstawiają szybkość zmian, a równanie różniczkowe opisuje związek między wielkością, która w procesie rozwiązywania ciągle się zmienia, tworząc nowe zmienne.

Profesor uniwersytecki może z łatwością poruszać się po skomplikowanych operacjach z całkami, przekształcać je na jedną liczbę całkowitą, a następnie udowadniać rachunek metodą odwrotną. Jednak umiejętność szybkiego przypominania sobie szczegółów skomplikowanych formuł nie jest dostępna dla każdego, dlatego wskazane jest odświeżenie pamięci lub odkrycie nowego materiału.

Znaczenie i podstawowe zastosowanie

W literaturze naukowej pochodną określa się wskaźnik, który ulega przekształceniu funkcji na podstawie jednej z jej zmiennych. Różniczkowanie jest istotą rachunku, który można porównać z początkiem poszukiwania stycznej do punktu. Wiadomo, że te ostatnie są różnego rodzaju i wymagają wzorów obliczeniowych do znalezienia. Załóżmy, że chcemy znaleźć nachylenie stycznej do wykresu w punkcie P. Jak to zrobić? Wystarczy narysować linię w kształcie łuku przez zaznaczony obiekt i podnosić ją do góry, aż uzyskamy linię secantną.

Funkcję f w punkcie x nazywamy różniczkowalną w punkcie x = a, jeżeli pochodna f `(a) istnieje w każdym zapisie jej dziedziny. Zademonstrujmy to na przykładzie:

f `(a) = lim (h=0) × f(a + h) - f(a)/h

Aby równanie różnicowało i całkowało funkcje w taki sposób, że jej położenie w dowolnym punkcie x jest możliwe, nie może być nieciągłe. Dzięki wcześniejszemu skonstruowaniu schematu można sprawdzić poprawność. Z tego powodu dziedzina f `(x) jest określona przez istnienie jej granic.

Zakładając, że y = f(x) jest funkcją x, to pochodna f(x) jest dana jako dy/dx. Określa się ją również jako równanie liniowe, w którym trzeba znaleźć wymagane dane dla y.

Jeśli jednak w pierwszym przypadku szukamy pochodnej y, to w kolejnym musimy znaleźć f(x) z x.

d/dx × (f(x)) la lub df/dx la

Stąd zapis szybkości zmian funkcji f(x) względem x w punkcie a leżącym na jej powierzchni.

Jeśli znamy pochodną f`, która jest różniczkowalna w swojej dziedzinie, możemy znaleźć jej wartość f. W rachunku całkowym nazywamy f antyprzykładem lub prymitywem funkcji f `. Jego sposób obliczania znany jest jako antyróżniczkowanie lub całkowanie.

Rodzaje i formy

Równanie z jednym lub kilkoma wyrazami, które zawiera pochodne zmiennej zależnej nad zmienną niezależną, nazywamy równaniem różniczkowym. Inaczej mówiąc, składa się z wielu wartości liczbowych, wspólnych lub cząstkowych, które ulegają zmianom w trakcie procesu rozwiązywania.

Dotychczas istnieją następujące rodzaje równań różniczkowych.

Zwykły. Prosta równość, która zależy bezpośrednio od zmiennej:

dy/dx + 5x = 5y

Z pochodnymi cząstkowymi:

dy/dx + dy/dt = x3-t3

d2y/dx2 - c2 × d2y/dt2

Wysoki współczynnik. Forma ta charakteryzuje się udziałem w rzędzie równania różniczkowego, co pokazuje poniższy przykład, gdzie jest on równy 3. Przyjmuje się, że liczba ta jest najwyższą obecną liczbą:

d3y/dx2 + 5 × dy/dx + y = √x

Funkcje mogą być kilku rodzajów, ale preferowany jest jeden cytat z charakterystycznymi wzorami na całkowanie i różniczkowanie.

y` = dy/dx

y` = d2y/dx2

y``` = d3y/dx3

Linear. Zmienna w równaniu jest podniesiona do potęgi pierwszej. Wykresem tego typu funkcji jest zazwyczaj linia prosta. Na przykład (3x + 5), ale (x³ + 4x²) nie jest tego typu, gdyż wymaga innego rozwiązania.

dy/dx + xy = 5x

Nieliniowe. Wszelkie całki i różniczki szeregów z podwójnymi sposobami uzyskania równości - odnieść do danego rodzaju:

d2y/dx2- ln y = 10

Szybkie metody uzyskiwania wyniku

Nie wystarczy spojrzeć na formularz, aby wypracować sposób radzenia sobie i zastosować zdobytą wiedzę. Obecnie jest wiele sposobów rozwiązywania równania różniczkowego.

To:

1. Zmienna separacja. Jest to spełnione, gdy przykład można przedstawić jako dy / dx = f(y) g(x). Osobliwością jest to, że f i g są funkcjami należącymi do własnych wartości. Z tego powodu należy przekształcić problem: 1/ f(y) dy = g(x) dx. I dopiero wtedy przejdź do kolejnego punktu.
2. Metoda czynnika integrującego. Stosowany, gdy w przykładzie jest dy / dx + p(x) y = q(x), gdzie p i q są funkcjami tylko x.

Rachunek różniczkowy pierwszego rzędu wygląda jak y`+ P(x) y = Q (x), ponieważ zawiera niezbędne funkcje oraz pochodną y. Kolejne zwiększenie nazewnictwa działa na tej samej zasadzie. Na przykład, pochodne nieznanej funkcji, mogą być częściowe lub zwykłe.

Całki nieokreślone

Jeśli podano prędkość roweru w funkcji czasu - czy można obliczyć przebytą drogę, wykorzystując minuty spędzone? Zadanie wydaje się być ciężarem niemożliwym do wykonania, ale całki pomogą Ci rozwiązać je jak najsprawniej, dając wynik.

W literaturze naukowej podkreśla się, że są one odwrotnością zróżnicowania. Rzeczywiście, integracja jest metodą dodawania rzeczy do siebie. Łączy cząstki ze sobą, tworząc coś nowego - całość. Kluczem do każdego podobnego przykładu jest znalezienie całek nieokreślonych i sprawdzenie wyników całkowania przez różniczkowanie. Pozwoli to uniknąć niepotrzebnych błędów.

Jeśli zamierzasz znaleźć pole dowolnej krzywej losowej, np. y=f(x), skorzystaj z metody, o której mowa. Pamiętaj, że tylko uważność uchroni Cię przed popełnieniem błędu.

Wzory na rozwiązanie

Tak więc po zapoznaniu się z podstawowym pojęciem różniczkowania i całkowania - przeliczaniem wstecznym przez funkcje - należy pokrótce przejrzeć niektóre podstawy. Są one podane poniżej.

Podstawowe zasady obliczania

Funkcje zespolone takie jak f (x) można łatwo przełożyć na równość, przedstawiając równanie jako: ∫ f(x) dx = F(x) + C.

Tutaj F (x) jest nazywane antyprzykładem lub prymitywem. f(x) jest funkcją całkowitą. dx - działa jako dodatkowy środek numeryczny. C - stała zintegrowana lub dowolna. x - działa w zależności od strony równości.

Z powyższego stwierdzenia możemy wywnioskować, że całkowanie i różniczkowanie szeregów to dwa przeciwstawne procesy. Razem działają jako rodzaj operacji pozwalającej uzyskać ostateczny wynik wykonywany na samym równaniu.

Teraz, gdy wiemy więcej o osobliwościach rachunku, wskazane jest podkreślenie głównych różnic, konieczny dla dla lepszego zrozumienia:

1. Różniczkowanie i całkowanie mogą jednocześnie spełniać zasady liniowości.
2. Operacje mają na celu znalezienie jak najdokładniejszego rozwiązania, ale narzucają ograniczenia na ich definicję.
3. Przy różniczkowaniu przykładowego wielomianu wynik jest o 1 mniejszy od stopnia funkcji, natomiast w przypadku całkowania wynik zamieniany jest na inny, działający w odwrotnym schemacie.
4. Te dwa rodzaje rozwiązań, jak już wcześniej stwierdzono, są sobie przeciwstawne. Oblicza się je za pomocą wzorów na całkowanie i różniczkowanie.
5. Pochodna dowolnej funkcji jest niepowtarzalna, ale z drugiej strony dwie całki, w tym samym przykładzie, mogą się różnić o stałą. To właśnie ta zasada stanowi główną trudność podczas wykonywania zadań.
6. Mając do czynienia z pochodnymi, możemy rozpatrywać pochodne w punkcie. Prawie jak w całkach, dają one funkcję w przedziale.
7. W ujęciu geometrycznym pochodna opisuje szybkość zmiany wielkości względem innej, natomiast całka nieokreślona przedstawia krzywą. Jest on ułożony w kierunku równoległym i ma styczne w przecięciu linii nieregularnych z innymi liniami, które są ortogonalne do osi reprezentującej zmienną.

Metody dodawania

Jeśli staniesz przed problemem, jak sumowanie stosuje się w matematycznych operacjach różniczkowania i całkowania, powinieneś dokładnie zapoznać się z podstawowymi wzorami. Są one aksjomatem w nauczaniu, stąd w powszechnym użyciu. Zauważ, że po zastosowaniu do własnych przykładów, wzory są prawdziwe tylko wtedy, gdy zaczynają się od i = 1.

Rozwiązanie "fragmentaryczne"

Czasami funkcja wymaga niekonwencjonalnego podejścia, aby dojść do końcowego wyniku i spełnić warunki równości. Pocztowa integracja i zróżnicowanie serii opiera się na tożsamości, która jest wyrażana: ∫ f(x) g`(x) dx = f (x) g(x) - ∫ f`(x) g(x) dx

Algorytm dla omawianej techniki jest następujący:

1. Wyrażenie funkcji zintegrowanej jako iloczynu dwóch wyrażeń. Oznacz jedno przez f (x), drugie przez g′ (x).
2. Teraz przejdź do określenia pozostałych dwóch formuł, które można zastosować w pierwszym kroku. Seria zmieni się o. Różniczkując, przekształcamy f ′(x), aby otrzymać wyrażenie f (x). Przejdź do drugiej części - g (x) całkuje się w g′(x). W tym przypadku dx pozostaje w swojej pierwotnej postaci i nie jest używane.
3. Wstawiaj te wyrażenia do wzoru fragmentarycznie. To kończy procedurę, a teraz możesz spróbować ocenić nową całkę po prawej stronie, ponieważ stała się ona znacznie łatwiejsza do zrozumienia.

Poprzednio w tej metodzie stosowano całkowanie przez części przy użyciu macierzy. Metoda była skuteczna, ale zajmowała dużo czasu, więc teraz jest stosowana rzadziej, w szczególnych przypadkach, gdy rozwiązanie jest prawie niemożliwe do znalezienia. Aby to zrobić, wystarczy umieścić f i g′ w pierwszym wierszu i obliczyć f ′ i g′ w drugim.

Dlaczego integracja przez części?

Sytuacje są różne. Czasami rozwiązania są o wiele bardziej złożone niż się na początku wydaje. W związku z tym należy wskazać na podstawowe problemy, które często występują przy całkowaniu częściowym i przy różniczkowaniu szeregów potęgowych. Rozważmy dwie podstawowe zasady.

Po pierwsze, część, którą zamierzamy całkować, tj. część wybraną dla g ′(x), musimy być w stanie przekształcić. Do Ważne jest, aby zmaksymalizować szybko. Faktem jest, że całkowanie złożone dla g rzadko daje poprawę całki, zwiększając złożoność. Wszystkie one mają negatywny wpływ na naszą wolność decydowania, a ponadto zależą od potęg, sinusów i cosinusów. Niech znalezienie właściwej odpowiedzi zajmie trochę czasu, ale niech prowadzi do poprawnej, a nie mylącej.

Po drugie, reszta, czyli część, którą zamierzamy zróżnicować i oznaczyć przez F, powinna wyraźnie wyróżniać się po przekształceniu. Po prostym zabiegu zauważamy, że nowa całka jest bardziej uproszczona niż jej poprzedniczka.

Gdy więc połączymy te dwie zasady i wykorzystamy je w rozwiązaniu, otrzymamy możliwość zastosowania różniczkowania i całkowania funkcji potęgowych, co ma sens przy rozpatrywaniu w częściach.

Istnieje również sposób usunięcia x, który pozwala nam na efektywne wykorzystanie przekształceń w różnych sytuacjach. Na przykład, możemy łatwo całkować mnożąc funkcję przez wielomian, który redukujemy przez różniczkowanie.

∫ x2 sin(3x) dx

∫ x7 cos(x) dx

∫x4 e4x dx

Jako f przyjmujemy stopień x (w ogólniejszym przypadku wielomian), a także używamy g`. Oczywiście każde różnicowanie zmniejsza stopień liczby o jeden, więc jeśli w przykładzie jest ona wystarczająco duża - zastosuj całkowanie pocztowe kilka razy. Pozwala to na skrócenie czasu.

Złożoność niektórych równań

W tym przypadku mamy do czynienia z różniczkowaniem i całkowaniem szeregów potęgowych. Funkcję można rozpatrywać w ten sposób, że x jest obszarem przedziału zbieżności punktów. Jednak ta metoda nie każdemu będzie odpowiadać. Chodzi o to, że każdą funkcję można wyrazić jako szereg potęgowy, przekształcając ją w strukturę liniową i odwrotnie.

Na przykład, otrzymujemy e_x. Możemy to wyrazić jako równanie, które tak naprawdę jest tylko nieskończonym wielomianem. Szereg potęgowy łatwo zobaczyć obliczając, ale nie zawsze jest to efektywne.

Całka skończona jest granicą sumy

Spójrz na poniższe graficzne całkowanie i różniczkowanie.

Aby łatwo zrozumieć złożoną funkcję, wystarczy ją dokładnie zrozumieć. Oszacujmy region PRSQP pomiędzy krzywą y = f (x), osią x oraz współrzędnymi "x = a" i "x = b". Podzielmy teraz przedział [a, b] na "n" równych pod przedziałów oznaczonych jako: [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], [x2 , x3 ]... [xn - 1 , xn ].

Gdzie x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, x3 = a + 3h.. .. xr = a + rh i xn = b = a + nh lub n = (b - a / h. (1). Zauważmy, że gdy n → ∞ h → 0.

Omawiana przestrzeń PRSQP jest sumą wszystkich "n" subdomen, gdzie każda z nich jest określona na pewnej medianie [x_r-1 , х_r ], r = 1, 2, 3... n. Przy odpowiednim podejściu funkcje te można różnicować i integrować, aby szybko rozwiązywać.

Teraz spójrz na ABDM na rysunku. Zasadne jest poczynienie następujących obserwacji dotyczących obszarów: (ABLC) < (ABDCA) < (ABDM).

Zauważmy również, że jeśli h → 0 lub x_r - х_r-1 → 0 wszystkie trzy obszary stają się prawie równe sobie. Stąd mamy:

sn = h [f(x0) + f(x1) + f(x2) + ... f(xn - 1)] = h r=0∑n-1 f(xr) (2)

lub Sn = h [f(x1) + f(x2) + f(x3) + ... f(xn)] = h r=1∑n f(xr) (3)

W tym przypadku s_n i S_n oznaczają sumę pól wszystkich dolnych i górnych prostokątów wyniesionych ponad przedziały [x_r-1, х_r] dla r = 1, 2, 3,..., n odpowiednio. Aby przedstawić to w odpowiedniej perspektywie, równanie (1) można zapisać jako

sn< obszar (PRSQP) < Sn ... (4)

Ponadto zakłada się, że granice (2) i (3) są w obu przypadkach takie same, a jedynie pole pod krzywą. W efekcie mamy:

limn → ∞ Sn = limn → ∞ sn = obszar PRSQP = ∫ab f(x) dx ... (5)

Pole to jest również granicą przestrzeni pomiędzy prostokątami poniżej krzywej i powyżej krzywej. Dla wygody powinniśmy notatka do wysokości figury, równej krzywej na lewej krawędzi każdego podprzestrzeni. Stąd równanie przepisujemy w postaci skończonej:

∫ab f(x) dx = limn → ∞ h [f(a) + f(a + h) + ... + f(a + {n - 1}h)]

lub ∫ab f(x) dx = (b - a) limn → ∞ (1/n) [f(a) + f(a + h) + ... + f(a + {n - 1}h)]

Wniosek

Różnicowanie i całkowanie różni się wieloma własnościami, wzorami i przeciwnymi zmianami. Jedno nie może przekształcić się w drugie bez. O ile różniczkowanie pomaga znaleźć pochodną, to całkowanie wykonuje zupełnie inną czynność. Dodaje niektóre części, może pomóc przy stopniach, zmniejszając je, lub poprawić przykład przez uproszczenie.

Stosuje się również sprawdzać równań różniczkowych. Innymi słowy - działają jako całość, że nie mogą współistnieć osobno, bo się uzupełniają. Stosując zasady, znając wiele technik, masz teraz gwarancję rozwiązywania złożonych problemów.