Sygnał analityczny: pojęcie, definicja, wzory i zastosowania

W matematyce i przetwarzaniu pojęcie sygnału analitycznego (w skrócie C, AC) to funkcja złożona, która nie ma ujemnych składowych częstotliwościowych. Część rzeczywista i urojona zjawiska są funkcjami rzeczywistymi połączonymi ze sobą za pomocą transformaty Hilberta. Sygnał analityczny jest zjawiskiem dość powszechnym w chemii, którego istota jest zbliżona do definicji matematycznej tej koncepcji.

Przedstawicielstwa

Reprezentacja analityczna funkcji rzeczywistej to sygnał analityczny zawierający funkcję oryginalną i jej transformatę Hilberta. Taka reprezentacja ułatwia wiele manipulacji matematycznych. Podstawową ideą jest to, że ujemne składowe częstotliwości transformaty Fouriera (lub widma) funkcji rzeczywistej są zbędne z powodu hermitowskiej symetrii. Te ujemne składowe częstotliwości mogą być odrzucone bez utraty informacji, pod warunkiem, że zamiast tego chcemy mieć do czynienia z funkcją złożoną. Dzięki temu pewne atrybuty funkcji są bardziej dostępne i łatwiej jest wyprowadzić techniki modulacji i demodulacji, takie jak pojedyncze pasmo.

Negatywne składniki

Dopóki manipulowana funkcja nie ma ujemnych składowych częstotliwościowych (tzn. jest nadal analityczna), konwersja z kompleksu z powrotem do rzeczywistości jest po prostu kwestią odrzucenia części urojonej. Reprezentacja analityczna jest uogólnieniem koncepcji wektorowej: podczas gdy wektor jest ograniczony do zmiennej w czasie amplitudy, fazy i częstotliwości, analiza jakościowa sygnału analitycznego dopuszcza parametry zmienne w czasie.

Chwilowa amplituda, chwilowa faza i częstotliwość w niektórych aplikacjach są wykorzystywane do pomiaru i wykrywania lokalnych cech C. Inne zastosowanie reprezentacji analitycznej dotyczy demodulacji sygnałów zmodulowanych. Współrzędne biegunowe wygodnie oddzielają efekty modulacji amplitudy i modulacji fazy (lub częstotliwości) i skutecznie demodulują pewne rodzaje.

Wtedy prosty filtr dolnoprzepustowy o rzeczywistych współczynnikach może odciąć. Innym motywem jest obniżenie częstotliwości maksymalnej, co obniża częstotliwość minimalną dla próbkowania bez aliasingu. Przesunięcie częstotliwości nie podważa matematycznej przydatności przedstawienia. W tym sensie więc down-converted jest nadal analityczny. Jednak odzyskanie rzeczywistej reprezentacji nie jest już prostą sprawą polegającą na wyodrębnieniu rzeczywistego składnika. Konieczne może być zastosowanie konwersji w górę, a jeśli sygnał jest próbkowany (czas dyskretny), konieczna może być również interpolacja (próbkowanie w górę), aby uniknąć nakładania się sygnałów.

Zmienne to

Pojęcie to jest jednoznacznie zdefiniowane dla zjawisk jednozmiennych, które zazwyczaj mają charakter czasowy. Ta tymczasowość dezorientuje wielu początkujących matematyków. Dla dwóch lub więcej zmiennych, analityczne C może być zdefiniowane na różne sposoby i dwa podejścia są przedstawione poniżej.

Część rzeczywista i urojona tego zjawiska odpowiadają dwóm elementom wektorowo-wartościowego sygnału monogenicznego, tak jak to zdefiniowano dla podobnych zjawisk jednozmiennych. Jednak monogeniczność można rozszerzyć na dowolną liczbę zmiennych w prosty sposób, tworząc (n + 1)-wymiarową funkcję wektorową dla przypadku sygnałów n-zmiennych.

Transformacja sygnału

Sygnał rzeczywisty można przekształcić w sygnał analityczny, dodając składową urojoną (Q), która jest transformacją Hilberta składowej rzeczywistej.

Przy okazji, to nie jest nowość w jego cyfrowej obróbce. Jedna z tradycyjnych metod generowania jednostronnego pasma AM (SSB), metoda fazowania, polega na tworzeniu sygnałów poprzez generowanie transformaty Hilberta sygnału audio w analogowej sieci rezystorowo-kondensatorowej. Ponieważ ma on tylko dodatnie częstotliwości, można go łatwo przekształcić w zmodulowany sygnał RF z tylko jedną wstęgą boczną.

Wzory definicji

Analitycznym wyrazem sygnału jest holomorficzna funkcja złożona określona na granicy górnej półpłaszczyzny złożonej. Granica górnej półpłaszczyzny pokrywa się z losowością, więc C jest dany przez odwzorowanie fa: R → C. Od połowy ubiegłego wieku, kiedy to Denis Gabor zaproponował w 1946 roku wykorzystanie tego zjawisko dla Dzięki badaniu stałej amplitudy i fazy, sygnał ten znalazł wiele zastosowań. Osobliwość tego zjawiska została podkreślona w [Vak96], gdzie wykazano, że tylko analiza jakościowa sygnału analitycznego odpowiada warunkom fizycznym dla amplitudy, fazy i częstotliwości.

Ostatnie postępy

W ciągu ostatnich kilku dekad pojawiło się zainteresowanie badaniem sygnału w wielu wymiarach, motywowane problemami pojawiającymi się w dziedzinach od przetwarzania obrazów/wideo do wielowymiarowych procesów oscylacyjnych w fizyce, takich jak fale sejsmiczne, elektromagnetyczne i grawitacyjne. Zasadniczo przyjęto, że aby właściwie uogólnić analityczną C (analizę jakościową) na przypadek kilku pomiarów należy oprzeć się na konstrukcji algebraicznej, która w wygodny sposób rozszerza zwykłe liczby zespolone. Konstrukcje takie nazywane są zwykle liczbami hiperkompleksowymi [SKE].

W końcu powinno być możliwe skonstruowanie hiperkompleksowego sygnału analitycznego fh: Rd → S, gdzie przedstawiony jest pewien ogólny hiperkompleksowy system algebraiczny, który w naturalny sposób rozszerza wszystkie wymagane własności, aby uzyskać chwilową amplitudę i fazę.

Badanie

W wielu referatach poruszane są różne zagadnienia związane z właściwy wybór hiperkompleksowy system liczbowy, definicja hiperkompleksowej transformaty Fouriera oraz ułamkowe transformaty Hilberta do badania chwilowej amplitudy i fazy. Większość tych prac opierała się na własnościach różnych przestrzeni, takich jak Cd, kwaterniony, algebry Clyrona i konstrukcje Cayley-Dixona.

Poniżej wymienimy tylko niektóre prace poświęcone badaniu sygnału w wielu wymiarach. O ile nam wiadomo, pierwsze prace dotyczące metody wielowymiarowej uzyskano na początku lat 90. Należą do nich prace Ell [Ell92] dotyczące przekształceń hiperkompleksowych; prace Bülowa dotyczące uogólnienia metody odpowiedzi analitycznej (sygnału analitycznego) na wiele wymiarów [BS01] oraz prace Felsberga i Sommera dotyczące sygnałów monogenicznych.

Dalsze perspektywy

Oczekuje się, że sygnał hiperkompleksowy rozszerzy wszystkie użyteczne właściwości, które mamy w przypadku jednowymiarowym. Przede wszystkim musimy być w stanie wyodrębnić i uogólnić chwilową amplitudę i fazę na wymiary. Po drugie, widmo Fouriera sygnału złożonego analitycznego jest obsługiwane tylko w dodatnich częstotliwościach, więc spodziewalibyśmy się, że hiperkompleksowa transformacja Fouriera ma swoje hiperwartościowe widmo obsługiwane tylko w pewnym dodatnim kwadrancie przestrzeni hiperkompleksowej. Dlatego jest to bardzo ważne.

Po trzecie, sprzężone części sygnału analitycznego złożonego są sprzężone z transformatą Hilberta i możemy oczekiwać, że sprzężone części w przestrzeni hiperkompleksowej powinny być również sprzężone z jakąś kombinacją transformaty Hilberta. Wreszcie, rzeczywiście, sygnał hiperkompleksowy musi być zdefiniowany jako rozszerzenie pewnej hiperkompleksowej funkcji holomorficznej kilku zmiennych hiperkompleksowych określonej na granicy pewnej formy w przestrzeni hiperkompleksowej.

Problemy te rozwiązujemy w porządku sekwencyjnym. Przede wszystkim zaczynamy od rozważenia wzoru na całkę Fouriera i pokazujemy, że transformata Hilberta w 1-D jest związana ze zmodyfikowanym wzorem na całkę Fouriera. Fakt ten pozwala nam zdefiniować chwilową amplitudę, fazę i częstotliwość bez odwoływania się do hiperkompleksowych systemów notacji i funkcji holomorficznych.

Modyfikacja całek

Postępujemy poprzez uogólnienie zmodyfikowanej formuły całki Fouriera na kilka wymiarów i określamy wszystkie niezbędne składowe przesunięte w fazie, które możemy złożyć w chwilową amplitudę i fazę. Po drugie, zajmujemy się zagadnieniem istnienia funkcji holomorficznych kilku zmiennych hiperkompleksowych. W ślad za [Sch93] okazuje się, że komutacyjna i asocjacyjna algebra hiperkompleksowa generowana przez zbiór generatorów eliptycznych (e2i = -1) jest odpowiednią przestrzenią do życia hiperkompleksowego sygnału analitycznego, nazywamy taką algebrę hiperkompleksową przestrzenią Scheffersa i oznaczamy ją przez Sd.

Zatem hiperkompleks sygnałów analitycznych definiujemy jako funkcję holomorficzną na granicy polidysku / górnej półpłaszczyzny w pewnej przestrzeni hiperkompleksowej, którą nazywamy ogólną przestrzenią Scheffersa i oznaczamy przez Sd. Następnie obserwujemy ważność wzoru na całkę Cauchy`ego dla funkcji Sd → Sd, które są obliczane na hiperpowierzchni wewnątrz polidysku w Sd i wyprowadzamy odpowiadające im ułamkowe transformaty Hilberta, które łączą hiperkompleksowe składniki sprzężone. Wreszcie okazuje się, że transformata Fouriera z wartościami w przestrzeni Schaefera jest podtrzymywana tylko przy nieujemnych częstotliwościach. Dzięki temu artykułowi dowiedziałeś się, czym jest sygnał analityczny.